Calcula el límite de (1 − cos 2x)/(2x) cuando x tiende a infinito.

Step-by-step solution

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   Notar que el numerador nunca se estabiliza. Cuando $x\to\infty$, $\cos 2x$ sigue oscilando eternamente entre $-1$ y $1$, así que $1-\cos 2x$ no tiene límite. Eso descarta separar la fracción o aplicar la regla de L'Hôpital, pero no impide que el cociente completo converja, porque el numerador se mantiene acotado.

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   Acotar el numerador. De $-1\le\cos 2x\le 1$ se obtiene $0\le 1-\cos 2x\le 2$ para todo $x$ real. Esta es la desigualdad clave: un numerador acotado sobre un denominador que crece sin cota.

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   Dividir la desigualdad entre el denominador positivo. Para $x>0$ se tiene $2x>0$, así que al dividir se conserva el sentido de ambas desigualdades: $0\le\frac{1-\cos 2x}{2x}\le\frac{2}{2x}=\frac{1}{x}.$

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   Aplicar el teorema del sándwich. Las dos cotas exteriores van al mismo sitio: $\lim_{x\to\infty}0=0$ y $\lim_{x\to\infty}\tfrac1x=0$. Una función atrapada entre dos que comparten límite tiene que compartirlo también, así que $\lim_{x\to\infty}\frac{1-\cos 2x}{2x}=0.$

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   Confirmar con un valor puntual. En $x=1000$ el numerador puede llegar a valer $2$, de modo que el cociente es a lo sumo $2/2000=0.001$; en $x=10^6$ es a lo sumo $10^{-6}$. La propia cota superior se desploma hasta $0$, y eso es lo que fuerza la respuesta.