Resuelve la ecuación diferencial dy/dx = 6 − y/2.

Step-by-step solution

1. 1

   Llévala a la forma lineal estándar. Pasa el término en $y$ a la izquierda:

   $\frac{dy}{dx}+\frac12 y=6$

   Esto encaja con $y'+p(x)y=q(x)$ con las constantes $p=\frac12$ y $q=6$, así que el método del factor integrante se aplica de forma directa.

2. 2

   Halla primero el equilibrio: anticipa la respuesta. Una solución constante exige $\frac{dy}{dx}=0$, es decir $6-\frac{y}{2}=0$, de donde $y=12$. Esa función constante es realmente una solución y, como el coeficiente de $y$ es negativo en la forma original, las soluciones deberían decaer hacia $12$. Cabe esperar una respuesta con el aspecto de $12$ más un término que se amortigua.

3. 3

   Construye el factor integrante.

   $\mu(x)=e^{\int \frac12\,dx}=e^{x/2}$

4. 4

   Multiplica toda la ecuación y reconoce la derivada de un producto.

   $e^{x/2}\frac{dy}{dx}+\frac12 e^{x/2}y=6e^{x/2}\;\Longrightarrow\;\frac{d}{dx}\left(ye^{x/2}\right)=6e^{x/2}$

   Compactar el miembro izquierdo en una sola derivada es justamente el propósito del factor $e^{x/2}$.

5. 5

   Integra y despeja $y$. Como $\int 6e^{x/2}\,dx=12e^{x/2}+C$,

   $ye^{x/2}=12e^{x/2}+C\;\Longrightarrow\;y=12+Ce^{-x/2}$

   La separación de variables da la misma familia, con $C$ absorbiendo la constante de integración.

6. 6

   Verifica y lee el comportamiento. Al derivar, $y'=-\frac{C}{2}e^{-x/2}$, mientras que el miembro derecho es

   $6-\frac{y}{2}=6-6-\frac{C}{2}e^{-x/2}=-\frac{C}{2}e^{-x/2}$

   Ambos coinciden para todo $C$. Cuando $x\to\infty$ la exponencial se extingue y $y\to 12$ sea cual sea el valor inicial, así que $y=12$ (el caso $C=0$) es un equilibrio estable.