Calcula la integral de x² · sen(x) desde x = 0 hasta x = 2.

Step-by-step solution

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   Halla la primitiva integrando por partes dos veces. Tomando $u=x^{2}$, $dv=\sin x\,dx$ se obtiene $-x^{2}\cos x+\int 2x\cos x\,dx$; una segunda pasada con $u=x$, $dv=\cos x\,dx$ da $\int x\cos x\,dx=x\sin x+\cos x$. En conjunto:

   $\int x^{2}\sin x\,dx=-x^{2}\cos x+2x\sin x+2\cos x+C$

   La primitiva no depende de los límites, así que vale la pena obtenerla una vez y reutilizarla.

2. 2

   Fíjate en qué cambia con los límites $0$ y $2$. Aquí $2$ es un número de radianes sin más, no un múltiplo de $\pi$, así que $\sin 2$ y $\cos 2$ no se reducen a $0$ ni a $\pm1$. La respuesta exacta contendrá por tanto los dos, y redondearlos demasiado pronto es el peligro principal.

3. 3

   Evalúa en el límite superior $x=2$.

   $-4\cos 2+4\sin 2+2\cos 2=4\sin 2-2\cos 2$

   Los dos términos con coseno se cancelan parcialmente: $-4\cos 2+2\cos 2=-2\cos 2$.

4. 4

   Evalúa en el límite inferior $x=0$.

   $-0\cdot\cos 0+0\cdot\sin 0+2\cos 0=2$

5. 5

   Resta para obtener el valor exacto.

   $\int_{0}^{2}x^{2}\sin x\,dx=4\sin 2-2\cos 2-2$

6. 6

   Pasa a decimal y comprueba el signo. Con $\sin 2=0.909297$ y $\cos 2=-0.416147$:

   $4(0.909297)-2(-0.416147)-2=3.637190+0.832294-2=2.469483$

   La regla de Simpson da $2.4694834$ ✓. El resultado es positivo porque $\sin x>0$ en todo $[0,2]$ (ya que $2<\pi$).