Calcular el límite de (√(3x - 2) + √(x - 1) - 3) / (x² - 4) cuando x tiende a 2.

Step-by-step solution

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   Primero se sustituye $x=2$ para identificar la indeterminación. Conviene comprobarlo siempre antes de aplicar cualquier técnica:

   $\text{numerador}=\sqrt{3(2)-2}+\sqrt{2-1}-3=\sqrt4+\sqrt1-3=2+1-3=0$

   $\text{denominador}=2^2-4=0$

   Así que la expresión tiene la forma $\tfrac00$. Esto es una buena noticia, no una mala: garantiza que el factor $(x-2)$ se esconde tanto en el numerador como en el denominador y puede cancelarse. Observa además que $x=2$ queda cómodamente dentro del dominio, ya que $3x-2>0$ y $x-1>0$ cerca de $x=2$.

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   Se separa el numerador para que cada raíz pierda su propio valor. La constante $-3$ es exactamente $-(2+1)$, es decir, la suma de los dos radicales evaluados en $x=2$. Reescribirla así permite tratar cada radical por separado:

   $\sqrt{3x-2}+\sqrt{x-1}-3=\underbrace{\big(\sqrt{3x-2}-2\big)}_{\to\,0}+\underbrace{\big(\sqrt{x-1}-1\big)}_{\to\,0}$

   Este es el movimiento clave. Intentar racionalizar de golpe un numerador de tres términos genera un desastre; separarlo convierte un límite difícil en dos problemas sencillos de conjugados.

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   Se racionaliza cada trozo con su conjugado. Multiplicar por $\frac{\sqrt{\;}+\text{valor}}{\sqrt{\;}+\text{valor}}$ convierte la diferencia de raíces en una diferencia de cuadrados:

   $\sqrt{3x-2}-2=\frac{(3x-2)-4}{\sqrt{3x-2}+2}=\frac{3(x-2)}{\sqrt{3x-2}+2}$

   $\sqrt{x-1}-1=\frac{(x-1)-1}{\sqrt{x-1}+1}=\frac{x-2}{\sqrt{x-1}+1}$

   Ahora los dos trozos llevan un factor explícito $(x-2)$: justo el factor que también vive en el denominador.

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   Se cancela el factor común $(x-2)$. Se factoriza el denominador como diferencia de cuadrados, $x^2-4=(x-2)(x+2)$, y se combina todo:

   $\frac{\sqrt{3x-2}+\sqrt{x-1}-3}{x^2-4}=\frac{(x-2)\left[\dfrac{3}{\sqrt{3x-2}+2}+\dfrac{1}{\sqrt{x-1}+1}\right]}{(x-2)(x+2)}$

   $=\frac{1}{x+2}\left[\frac{3}{\sqrt{3x-2}+2}+\frac{1}{\sqrt{x-1}+1}\right]$

   Cancelar es legítimo porque al límite solo le importan los valores $x\ne2$.

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   Se sustituye $x=2$ en la expresión ya simplificada. Ya no queda ninguna indeterminación:

   $\frac{1}{4}\left[\frac{3}{2+2}+\frac{1}{1+1}\right]=\frac14\left[\frac34+\frac12\right]=\frac14\cdot\frac54=\frac{5}{16}$

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   Comprobación con la regla de L'Hôpital. Como la forma era $\tfrac00$, también es válido derivar por separado el numerador y el denominador:

   $\lim_{x\to2}\frac{\dfrac{3}{2\sqrt{3x-2}}+\dfrac{1}{2\sqrt{x-1}}}{2x}=\frac{\tfrac{3}{4}+\tfrac12}{4}=\frac{\tfrac54}{4}=\frac{5}{16}$

   Los dos caminos coinciden. Una comprobación numérica lo confirma: en $x=2.00001$ el cociente vale $0.3124986\ldots$, y $\tfrac{5}{16}=0.3125$.