Calcula la integral triple de xyz sobre la región sólida donde 0 ≤ z ≤ 3 y x² + y² ≤ z.

Step-by-step solution

1. 1

   Describe el sólido. La condición $x^{2}+y^{2}\le z$ coloca al punto dentro del paraboloide $z=x^{2}+y^{2}$, y $z\le 3$ lo remata con un plano. A la altura $z$ la sección transversal es un disco de radio $\sqrt z$, de modo que el sólido es un cuenco de profundidad $3$ y radio superior $\sqrt3$.

2. 2

   Pasa a coordenadas cilíndricas. Con $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ y $dV=r\,dz\,dr\,d\theta$,

   $xyz=r^{2}\cos\theta\sin\theta\cdot z,$

   de modo que

   $\iiint_E xyz\,dV=\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\sqrt3}\!\int_{r^{2}}^{3} r^{3}z\cos\theta\sin\theta\,dz\,dr\,d\theta.$

3. 3

   Observa que la integral se separa. Nada en los límites depende de $\theta$, y toda la dependencia del integrando en $\theta$ está en el único factor $\cos\theta\sin\theta$. Por eso la integral triple completa se factoriza como

   $\left(\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta\right)\left(\int_{0}^{\sqrt3}\!\int_{r^{2}}^{3}r^{3}z\,dz\,dr\right).$

   Comprobar esto antes de calcular nada ahorra por completo el cálculo radial.

4. 4

   Evalúa el factor angular. Usando $\cos\theta\sin\theta=\tfrac12\sin 2\theta$,

   $\int_{0}^{2\pi}\frac{\sin 2\theta}{2}\,d\theta=\left[-\frac{\cos 2\theta}{4}\right]_{0}^{2\pi}=-\frac14+\frac14=0.$

5. 5

   Concluye y entiende el porqué geométrico. Como el primer factor es $0$ y el segundo es finito, la integral completa vale

   $\iiint_E xyz\,dV=0.$

   La razón es la simetría: el sólido no cambia bajo $x\mapsto-x$, mientras que $xyz$ cambia de signo, así que las contribuciones se cancelan por pares. La cuadratura triple numérica sobre la región devuelve $-9.6\times10^{-16}$, es decir, cero con precisión de máquina.