Halla el límite cuando x tiende a 2 de (4x² + 7x − 2)/(3x² + 8x + 2).

Step-by-step solution

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   Antes que nada, prueba el denominador en el punto objetivo. Una función racional es continua allí donde su denominador no se anula, y en ese caso el límite es sencillamente el valor de la función. Así que la primera pregunta es si $3x^2+8x+2$ se anula en $x=2$.

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   Evalúa el denominador. $3(2)^2+8(2)+2 = 12+16+2 = 30 \neq 0.$ Al ser distinto de cero, no hay ninguna indeterminación: no hacen falta factorizaciones, conjugados ni la regla de L'Hôpital.

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   Evalúa el numerador. $4(2)^2+7(2)-2 = 16+14-2 = 28.$

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   Forma el cociente. $\lim_{x\to2}\frac{4x^2+7x-2}{3x^2+8x+2} = \frac{28}{30}.$

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   Simplifica la fracción. $28$ y $30$ comparten el factor $2$, así que $\frac{28}{30} = \frac{14}{15} \approx 0.9\overline{3}.$ Como $14 = 2\cdot7$ y $15 = 3\cdot5$ no tienen ningún factor común, esta es la forma irreducible.

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   Observa dónde fallaría la sustitución. Las raíces del denominador son $x = \tfrac{-8\pm\sqrt{64-24}}{6} = \tfrac{-4\pm\sqrt{10}}{3} \approx -0.2792$ y $-2.3874$. En cualquiera de esos puntos el límite exigiría un trabajo aparte; en $x=2$ la función se comporta perfectamente bien.