Hallar la solución general de a·y'' + b·y = 0, donde a y b son constantes y a no es cero.

Step-by-step solution

1. 1

   Normalizar la ecuación. Dividir entre $a$ (legítimo porque $a \ne 0$) da

   $y'' + \frac{b}{a}y = 0$

   Solo importa la razón $\tfrac{b}{a}$: los valores individuales de $a$ y $b$ no vuelven a aparecer.

2. 2

   Formar la ecuación característica. Sustituyendo $y = e^{rx}$ y cancelando el $e^{rx}$, que no es cero:

   $r^2 + \frac{b}{a} = 0 \quad\Longrightarrow\quad r^2 = -\frac{b}{a}$

   No hay término lineal en $r$ porque la ecuación no tiene término en $y'$: este es el caso sin amortiguamiento, así que las raíces son o bien imaginarias puras o bien reales puras, nunca las dos cosas.

3. 3

   Caso b/a > 0: raíces imaginarias puras. Entonces $r = \pm i\sqrt{b/a}$ y

   $y = C_1\cos\!\left(\sqrt{\tfrac{b}{a}}\,x\right) + C_2\sin\!\left(\sqrt{\tfrac{b}{a}}\,x\right)$

   Es un movimiento armónico simple de frecuencia angular $\omega = \sqrt{b/a}$: la ecuación masa-resorte $m\ddot y + ky = 0$ es exactamente este caso.

4. 4

   Caso b/a < 0: dos raíces reales. Entonces $r = \pm\sqrt{-b/a}$ y

   $y = C_1e^{\sqrt{-b/a}\,x} + C_2e^{-\sqrt{-b/a}\,x}$

   Una solución crece y la otra decae; de manera equivalente $y = A\cosh\!\left(\sqrt{-b/a}\,x\right) + B\sinh\!\left(\sqrt{-b/a}\,x\right)$.

5. 5

   Caso b = 0: una raíz doble en cero. La ecuación se reduce a $y'' = 0$, cuyas soluciones son las rectas

   $y = C_1x + C_2$

   Este es el caso de raíz repetida $r = 0$, con $e^{0x} = 1$ y $xe^{0x} = x$ como las dos soluciones independientes.

6. 6

   Verificar un caso. Con $a = 2$, $b = 8$ resulta $\tfrac{b}{a} = 4$ y $y = C_1\cos 2x + C_2\sin 2x$. Sustituyendo $y = \cos 2x$: $y'' = -4\cos 2x$, de modo que $2(-4\cos 2x) + 8\cos 2x = 0$. Correcto.