Halla la derivada parcial respecto a t de d = (Vy · 100)/(Vm + Vm20 · (t − 20) · b) − 100, tratando Vy, Vm, Vm20 y b como constantes.

Step-by-step solution

1. 1

   Descarta la constante aditiva y ponle nombre al denominador. El $-100$ del final tiene derivada nula, así que no interviene. Definiendo

   $D=V_m+V_{m20}(t-20)b,$

   la función queda

   $d=100V_y\,D^{-1}-100.$

   Escribir el cociente como una potencia negativa convierte una regla del cociente en una regla de la cadena de una sola línea.

2. 2

   Deriva $D$ respecto a $t$. Solo el factor $(t-20)$ depende de $t$, y su derivada es $1$:

   $\frac{\partial D}{\partial t}=V_{m20}b.$

   Fíjate en que el $-20$ es un desplazamiento, no un factor de escala, así que no aparece en la derivada.

3. 3

   Aplica la regla de la cadena a $D^{-1}$.

   $\frac{\partial}{\partial t}\bigl(D^{-1}\bigr)=-D^{-2}\frac{\partial D}{\partial t}=-\frac{V_{m20}b}{D^{2}}.$

4. 4

   Multiplica por el factor constante.

   $\frac{\partial d}{\partial t}=100V_y\left(-\frac{V_{m20}b}{D^{2}}\right)=-\frac{100\,V_y\,V_{m20}\,b}{\bigl(V_m+V_{m20}(t-20)b\bigr)^{2}}.$

5. 5

   Interpreta el signo. El cuadrado del denominador es positivo, así que el signo de $\partial d/\partial t$ es el opuesto al del signo de $V_y V_{m20} b$ y nunca cambia al variar $t$. Si el coeficiente de dilatación $b$ vale cero, la derivada se anula idénticamente, y eso es correcto: con $b=0$ la variable $t$ desaparece por completo de la fórmula.