Halla la serie de Maclaurin de sen(x) hasta el término de grado 7 inclusive.

Step-by-step solution

1. 1

   Construir el ciclo de derivadas en $x=0$. Las derivadas del seno se repiten con periodo cuatro, así que los coeficientes siguen un patrón de cuatro pasos:

   $\sin 0=0,\quad \cos 0=1,\quad -\sin 0=0,\quad -\cos 0=-1,\quad \text{y vuelta a empezar}$

   de modo que $f^{(n)}(0)$ recorre cíclicamente $0,1,0,-1$.

2. 2

   Meter esos valores en la fórmula de Maclaurin. Con $f(x)=\sum_{n\ge 0}\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$, todas las derivadas de orden par se anulan y solo sobreviven las potencias impares:

   $\sin x=\frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$

   La ausencia de potencias pares no es casualidad: $\sin(-x)=-\sin x$ hace que la función sea impar, y una función impar solo puede tener términos de grado impar.

3. 3

   Evaluar los factoriales.

   $3!=6,\qquad 5!=120,\qquad 7!=5040$

   $\sin x=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\frac{x^7}{5040}+O\!\left(x^9\right)$

4. 4

   Escribir el término general. En forma cerrada,

   $\sin x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!}$

   que converge para todo $x$ real: el radio de convergencia es infinito, porque $(2k+1)!$ acaba creciendo más deprisa que cualquier potencia fija.

5. 5

   Medir la precisión. En $x=1$ radián el truncamiento da

   $1-\frac16+\frac{1}{120}-\frac{1}{5040}=0.8414682\ldots$

   frente a $\sin 1=0.8414710$, un error de aproximadamente $2.7\times 10^{-6}$, coherente con el siguiente término omitido $\tfrac{x^9}{9!}=\tfrac{1}{362880}\approx 2.76\times 10^{-6}$. La cota de las series alternadas garantiza que el error nunca supera ese primer término descartado.