Evalúa la integral doble sobre el cuadrado de −R a R en x y en y de x dividido entre la raíz cuadrada de (R al cuadrado más y al cuadrado) por (R al cuadrado menos x al cuadrado).

Step-by-step solution

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   Separa el integrando en una parte en x y otra en y. La raíz cuadrada se factoriza, así que $\frac{x}{\sqrt{(R^2+y^2)(R^2-x^2)}} = \frac{x}{\sqrt{R^2-x^2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{R^2+y^2}}.$ Nada mezcla las dos variables.

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   Usa la separabilidad para convertir la integral doble en un producto. Sobre el rectángulo $[-R,R]\times[-R,R]$, $I = \left(\int_{-R}^{R}\frac{x\,dx}{\sqrt{R^2-x^2}}\right)\left(\int_{-R}^{R}\frac{dy}{\sqrt{R^2+y^2}}\right).$ Si cualquiera de los dos factores es cero, toda la integral es cero, así que conviene examinar primero el más sencillo.

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   Verifica que la integral en x es impropia y que converge. El integrando se dispara cuando $x\to\pm R$, así que hay que establecer la convergencia antes de invocar la simetría. En $[0,R]$: $\int_0^{R}\frac{x\,dx}{\sqrt{R^2-x^2}} = \left[-\sqrt{R^2-x^2}\right]_0^{R} = 0+R = R,$ un valor finito. La mitad espejo converge a $-R$ por el mismo cálculo.

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   Aplica la simetría impar. $f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{R^2-x^2}}$ cumple $f(-x)=-f(x)$, y $[-R,R]$ es simétrico respecto de $0$. Como ambas mitades convergen absolutamente, $\int_{-R}^{R}f(x)\,dx = -R+R = 0.$

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   Concluye, observando que el otro factor es finito. $\displaystyle\int_{-R}^{R}\frac{dy}{\sqrt{R^2+y^2}} = 2\operatorname{arsinh}(1) = 2\ln\!\left(1+\sqrt2\right)$, un número positivo y finito. Un número finito multiplicado por cero es cero: $I = 0.$

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   Observa por qué importaba comprobar la convergencia. Si la integral en $x$ hubiera divergido (por ejemplo con $\tfrac{x}{R^2-x^2}$ en su lugar), las dos mitades serían $+\infty$ y $-\infty$, y «función impar en un intervalo simétrico» no justificaría el valor $0$: la integral simplemente no existiría.