Calcula la integral triple de x²y² sobre el sólido interior al paraboloide x² + y² = 2z entre los planos z = 2 y z = 8.

Step-by-step solution

1. 1

   Describe el sólido en coordenadas cilíndricas. La superficie $x^2+y^2=2z$ es un paraboloide que se abre hacia arriba, $z=\tfrac{r^2}{2}$. «Dentro del paraboloide» significa $r^2\le 2z$, así que rebanar horizontalmente a la altura $z$ da un disco de radio $\sqrt{2z}$:

   $2\le z\le 8,\qquad 0\le r\le \sqrt{2z},\qquad 0\le\theta\le 2\pi$

   Rebanar según $z$ (en vez de integrar $z$ al final) es lo que mantiene los límites sencillos: cada sección transversal es un disco completo.

2. 2

   Convierte el integrando y el elemento de volumen. Con $x=r\cos\theta$ e $y=r\sin\theta$,

   $x^2y^2=r^4\cos^2\theta\sin^2\theta,\qquad dV=r\,dr\,d\theta\,dz$

   de modo que el integrando alcanza una potencia total de $r^5$:

   $\iiint_E x^2y^2\,dV=\int_2^8\!\!\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\sqrt{2z}} r^5\cos^2\theta\sin^2\theta\,dr\,d\theta\,dz$

   Olvidar el factor jacobiano $r$ es el error más frecuente y dejaría aquí $r^4$.

3. 3

   Separa el factor angular. Nada en los límites depende de $\theta$, así que la integral triple se factoriza en el producto de una integral en $\theta$ por otra en $(r,z)$. Usando $\cos\theta\sin\theta=\tfrac12\sin 2\theta$,

   $\cos^2\theta\sin^2\theta=\frac{\sin^2 2\theta}{4}=\frac{1-\cos 4\theta}{8}$

   $\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\sin^2\theta\,d\theta=\frac{1}{8}\left[\theta-\frac{\sin 4\theta}{4}\right]_0^{2\pi}=\frac{2\pi}{8}=\frac{\pi}{4}$

4. 4

   Haz la integral radial y después la integral en $z$. Para $z$ fijo,

   $\int_0^{\sqrt{2z}} r^5\,dr=\frac{(2z)^3}{6}=\frac{8z^3}{6}=\frac{4z^3}{3}$

   Integrando eso sobre $2\le z\le 8$:

   $\int_2^8 \frac{4z^3}{3}\,dz=\frac{4}{3}\left[\frac{z^4}{4}\right]_2^8=\frac{1}{3}\left(4096-16\right)=1360$

5. 5

   Multiplica los dos factores y contrasta el orden de magnitud.

   $\iiint_E x^2y^2\,dV=1360\cdot\frac{\pi}{4}=340\pi\approx 1068.1$

   El signo es el correcto: el integrando $x^2y^2$ nunca es negativo, así que una respuesta positiva es obligatoria. Una cota grosera también respalda la magnitud: el sólido cabe dentro de un cilindro de radio $4$ y altura $6$, donde $x^2y^2\le r^4/4\le 64$, lo que da una cota superior de unos $64\cdot\pi\cdot 16\cdot 6\approx 19300$, holgadamente por encima de $340\pi$.