Hallar la derivada de ln(x + √(x² − a²)) respecto de x.

Step-by-step solution

1. 1

   Plantear la regla de la cadena logarítmica. Con $u = x + \sqrt{x^2 - a^2}$ se tiene $y = \ln u$, así que $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{u'}{u}$. Todo el problema se reduce ahora a calcular $u'$ y esperar que comparta algún factor con $u$, lo que, para esta combinación concreta, ocurre.

2. 2

   Derivar la raíz cuadrada. Por la regla de la cadena,

   $\frac{d}{dx}\sqrt{x^2 - a^2} = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 - a^2}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 - a^2}}$

   así que $u' = 1 + \dfrac{x}{\sqrt{x^2 - a^2}}$.

3. 3

   Reunir el numerador sobre un solo denominador.

   $u' = \frac{\sqrt{x^2 - a^2} + x}{\sqrt{x^2 - a^2}}$

   El numerador es ahora literalmente $u$: esta es la coincidencia estructural que hace que la respuesta salga tan limpia.

4. 4

   Dividir y cancelar.

   $\frac{dy}{dx} = \frac{u'}{u} = \frac{x + \sqrt{x^2 - a^2}}{\sqrt{x^2 - a^2}} \cdot \frac{1}{x + \sqrt{x^2 - a^2}} = \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}}$

5. 5

   Identificar la función y su dominio. Como $\operatorname{arcosh}(x/a) = \ln\!\left(x + \sqrt{x^2 - a^2}\right) - \ln a$, la expresión es el coseno hiperbólico inverso salvo una constante aditiva, y por eso su derivada coincide con $\frac{d}{dx}\operatorname{arcosh}(x/a)$. Es válida para $x > |a|$, donde el radicando es positivo. Observa el contraste con $\ln\!\left(x + \sqrt{x^2 + a^2}\right)$, cuya derivada es $1/\sqrt{x^2 + a^2}$ (el caso del arcoseno hiperbólico) y que está definida para todo $x$ real.

6. 6

   Comprobación numérica. Tomemos $a = 2$ y $x = 3$. Una diferencia central con paso $10^{-6}$ da $0.4472136$, y $1/\sqrt{9-4} = 1/\sqrt5 = 0.4472136$. Coinciden hasta la séptima cifra decimal.