Calcula el límite de (x² + 2x − 15)/(x² − 9) cuando x tiende a 3.

Step-by-step solution

1. 1

   Prueba primero la sustitución directa y lee el resultado. Poniendo $x=3$ en el numerador y en el denominador se obtiene

   $\frac{9+6-15}{9-9}=\frac{0}{0}$

   La forma $\tfrac00$ es indeterminada, no indefinida: es una señal de que numerador y denominador comparten el factor $(x-3)$, que puede eliminarse.

2. 2

   Factoriza el numerador. Necesitas dos números cuyo producto sea $-15$ y cuya suma sea $+2$; son $+5$ y $-3$:

   $x^2+2x-15=(x+5)(x-3)$

3. 3

   Factoriza el denominador como diferencia de cuadrados.

   $x^2-9=(x-3)(x+3)$

   Ambas factorizaciones contienen $(x-3)$, lo que confirma el diagnóstico del paso 1.

4. 4

   Cancela el factor común. Para $x\ne 3$ la fracción vale

   $\frac{(x+5)(x-3)}{(x-3)(x+3)}=\frac{x+5}{x+3}$

   Cancelar es válido aquí porque un límite cuando $x\to 3$ nunca usa el valor en $x=3$, solo los valores cercanos, donde $x-3\ne 0$.

5. 5

   Sustituye en la expresión reducida. La función reducida es continua en $x=3$:

   $\frac{3+5}{3+3}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$

   Numéricamente, en $x=2.9999$ el cociente original vale $1.33334$ y en $x=3.0001$ vale $1.33333$, ambos acercándose a $4/3\approx 1.3333$.