Sea f derivable en el intervalo [a, ∞) y supón que el límite de f cuando x tiende a a por la derecha es igual al límite de f cuando x tiende a infinito, y ambos valen el número finito A. Demuestra que existe ξ en (a, ∞) con f′(ξ) = 0.

Step-by-step solution

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   Reconocerlo como el teorema de Rolle estirado sobre un intervalo infinito. Rolle necesita valores iguales en dos extremos; aquí solo se tienen límites iguales, y uno de los extremos está en el infinito, así que el teorema no se aplica directamente. La salida es usar en su lugar el teorema de Fermat: en un punto interior donde una función derivable alcanza un extremo local, la derivada es cero. Toda la demostración se reduce, por tanto, a atrapar un extremo estrictamente dentro de $(a,+\infty)$.

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   Despachar el caso constante. Si $f(x)\equiv A$ en $(a,+\infty)$, entonces $f'(x)=0$ para todo $x$ y sirve cualquier $\xi$. Así que a partir de ahora se supone que hay un punto $x_{0}\in(a,+\infty)$ con $f(x_{0})\neq A$. Sustituyendo $f$ por $-f$ si hace falta, se puede suponer

   $f(x_{0})>A$

   ya que $-f$ tiene los mismos límites (cambiados de signo) y los mismos puntos de derivada nula.

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   Usar los dos límites para confinar los valores grandes a una ventana acotada. Se toma

   $\varepsilon=\frac{f(x_{0})-A}{2}>0$

   De $\lim_{x\to a^{+}}f(x)=A$ se sigue que existe $u\in(a,x_{0})$ tal que $|f(x)-A|<\varepsilon$, y por tanto $f(x)<A+\varepsilon$, para todo $x\in(a,u]$. De $\lim_{x\to+\infty}f(x)=A$ se sigue que existe $v>x_{0}$ tal que $f(x)<A+\varepsilon$ para todo $x\geq v$. Así que fuera de $[u,v]$ la función se mantiene por debajo de $A+\varepsilon$, mientras que dentro alcanza

   $f(x_{0})=A+2\varepsilon>A+\varepsilon$

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   Alcanzar el máximo en el intervalo cerrado y ver que es interior. $f$ es derivable y, por tanto, continua en el intervalo compacto $[u,v]$, así que por el teorema de Weierstrass alcanza ahí un máximo en algún $\xi\in[u,v]$. Ese máximo vale al menos $f(x_{0})=A+2\varepsilon$. Pero $f(u)<A+\varepsilon$ y $f(v)<A+\varepsilon$, de modo que $\xi$ no es ninguno de los dos extremos:

   $\xi\in(u,v)\subset(a,+\infty)$

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   Elevar el máximo en $[u,v]$ a máximo global y aplicar Fermat. Para $x\in(a,u)$ y para $x>v$ se tiene $f(x)<A+\varepsilon<f(\xi)$, así que $f(\xi)$ es de hecho el mayor valor de $f$ en todo $(a,+\infty)$; en particular es un máximo local en un punto interior. Como $f$ es derivable en $\xi$, el teorema de Fermat da

   $f'(\xi)=0$

   con lo que la demostración queda completa.

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   Señalar dónde se usó cada hipótesis. Que $A$ sea finito fue imprescindible para elegir $\varepsilon$; la igualdad de los dos límites es lo que hace que la función vuelva al mismo nivel en ambos extremos, de modo que un abultamiento intermedio no pueda ser una tendencia monótona; y la derivabilidad en todo $(a,+\infty)$ es lo que permite disparar el teorema de Fermat en $\xi$. Si se quita cualquiera de ellas la conclusión puede fallar: por ejemplo, $f(x)=1/x$ en $[1,\infty)$ tiene límites distintos en los extremos y ningún punto crítico.