Resuelve el sistema lineal de ecuaciones diferenciales x′ = x − 2y, y′ = 2x + y.

Step-by-step solution

1. 1

   Escribe el sistema como una única ecuación matricial. Con $\mathbf{X} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ el sistema es $\mathbf{X}' = A\mathbf{X}$ donde

   $A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

   Esto importa porque entonces toda la solución queda determinada por los valores propios de $A$: no hace falta ninguna sustitución ni eliminación.

2. 2

   Halla los valores propios. La ecuación característica es

   $\det(A - \lambda I) = (1-\lambda)^2 + 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (1-\lambda)^2 = -4$

   de donde $\lambda = 1 \pm 2i$. Un par complejo $\alpha \pm \beta i$ produce siempre $e^{\alpha t}$ multiplicado por senos y cosenos de $\beta t$: tasa de crecimiento $\alpha = 1$, tasa de rotación $\beta = 2$.

3. 3

   Halla un vector propio. Para $\lambda = 1 + 2i$ la primera fila de $A - \lambda I$ dice $-2i\,v_1 - 2v_2 = 0$, así que $v_2 = -i\,v_1$ y

   $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix}$

   Basta con un solo vector propio: el par conjugado no aporta información nueva.

4. 4

   Separa la solución compleja en parte real e imaginaria. Usando $e^{(1+2i)t} = e^{t}(\cos 2t + i\sin 2t)$,

   $e^{(1+2i)t}\mathbf{v} = e^{t}\begin{pmatrix} \cos 2t + i\sin 2t \\ \sin 2t - i\cos 2t \end{pmatrix}$

   Su parte real $e^t(\cos 2t,\ \sin 2t)$ y su parte imaginaria $e^t(\sin 2t,\ -\cos 2t)$ son dos soluciones reales independientes.

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   Combínalas en la solución general.

   $x(t) = e^{t}\left(C_1\cos 2t + C_2\sin 2t\right), \qquad y(t) = e^{t}\left(C_1\sin 2t - C_2\cos 2t\right)$

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   Comprueba por sustitución. Al derivar $x$ se obtiene $e^t(C_1\cos 2t + C_2\sin 2t) + e^t(-2C_1\sin 2t + 2C_2\cos 2t)$, y $x - 2y = e^t(C_1\cos 2t + C_2\sin 2t) - 2e^t(C_1\sin 2t - C_2\cos 2t)$: la misma expresión. La segunda ecuación se comprueba igual. Como $\alpha = 1 > 0$, toda trayectoria se aleja del origen describiendo una espiral.