Hallar la integral indefinida de 1/(a − bx) respecto de x, donde a y b son constantes y b no es cero.

Step-by-step solution

1. 1

   Elegir la sustitución. El denominador es lineal, así que se toma todo el denominador como nueva variable:

   $u=a-bx$

   Esta es la jugada estándar para cualquier $\int\frac{dx}{\text{lineal}}$: no hay que recurrir a fracciones parciales ni a una fórmula con $\ln$ recordada de memoria.

2. 2

   Derivar la sustitución y despejar dx.

   $du=-b\,dx\qquad\Longrightarrow\qquad dx=-\frac{1}{b}\,du$

   El signo menos viene del $-bx$; perderlo es el error más común en esta integral.

3. 3

   Reescribir la integral en u.

   $\int\frac{1}{a-bx}\,dx=\int\frac{1}{u}\left(-\frac{1}{b}\right)du=-\frac{1}{b}\int\frac{du}{u}$

   La constante $-\tfrac1b$ sale directamente fuera de la integral.

4. 4

   Integrar y deshacer la sustitución. Como $\int\frac{du}{u}=\ln|u|+C$:

   $-\frac{1}{b}\ln|u|+C=-\frac{1}{b}\ln|a-bx|+C$

   El valor absoluto es esencial: $a-bx$ cambia de signo en $x=\tfrac{a}{b}$, donde el integrando tiene una asíntota vertical, y la primitiva es válida a cada lado de ella por separado.

5. 5

   Notar el patrón general. Para cualquier función interior lineal,

   $\int\frac{dx}{px+q}=\frac{1}{p}\ln|px+q|+C$

   Aquí $p=-b$, lo que reproduce directamente el $-\tfrac1b$. El coeficiente que queda delante es siempre el inverso de la pendiente interior.

6. 6

   Verificar derivando. Por la regla de la cadena, $\frac{d}{dx}\left[-\frac1b\ln|a-bx|\right]=-\frac1b\cdot\frac{-b}{a-bx}=\frac{1}{a-bx}$ ✓. Numéricamente con $a=3.7$, $b=1.9$, los cocientes de diferencias simétricas en $x=0.4,\,-2.0,\,3.0$ coinciden con el integrando hasta cinco dígitos ✓, incluido un punto a cada lado de la asíntota en $x=1.947$.