El límite cuando x tiende a 0 de a por (2 + e^(1/x))/(1 + e^(1/x)) más (1 + |x|)^(1/x) existe. Halla el valor de a.

Step-by-step solution

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   Reconocer por qué el límite da problemas por los dos lados. Tanto $e^{1/x}$ como $|x|$ se comportan de manera distinta a cada lado de $0$, así que el límite existe justo cuando el límite por la derecha y el límite por la izquierda coinciden. Se calcula cada lado por separado y luego se los obliga a coincidir.

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   Lado derecho: $x\to 0^{+}$. Aquí $\frac1x\to+\infty$, así que $e^{1/x}\to+\infty$ y $\frac{2+e^{1/x}}{1+e^{1/x}}\to 1$ (dividiendo numerador y denominador entre $e^{1/x}$). Además $|x|=x$, de modo que el segundo término es $(1+x)^{1/x}\to e$. Por lo tanto $L_{+}=a+e$.

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   Lado izquierdo: $x\to 0^{-}$. Ahora $\frac1x\to-\infty$, así que $e^{1/x}\to 0$ y $\frac{2+e^{1/x}}{1+e^{1/x}}\to\frac{2}{1}=2.$ Además $|x|=-x$, de modo que el segundo término es $(1-x)^{1/x}$. Poniendo $t=-x\to 0^{+}$ se obtiene $(1+t)^{-1/t}\to e^{-1}$. Por lo tanto $L_{-}=2a+\dfrac1e$.

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   Igualar los dos límites laterales. $a+e=2a+\frac1e\ \Longrightarrow\ a=e-\frac1e.$

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   Comprobar el valor común. Con $a=e-\tfrac1e\approx 2.35040$, el límite por la derecha es $a+e\approx 5.06868$ y el límite por la izquierda es $2a+\tfrac1e\approx 4.70081+0.36788\approx 5.06868$. Los dos coinciden, así que el límite sí existe para este $a$ y para ningún otro.