Halla dy/dx para la curva 20x²⁰y + y⁸ = 33 − 30x⁶.

Step-by-step solution

1. 1

   Trata $y$ como una función desconocida de $x$. Derivar implícitamente significa derivar los dos lados respecto de $x$ recordando que cada $y$ es en realidad $y(x)$. En consecuencia, cada $y$ derivada deja tras de sí un factor $\dfrac{dy}{dx}$ por la regla de la cadena, y ese factor es toda la razón por la que el método funciona.

2. 2

   Deriva el término mixto con la regla del producto. $20x^{20}y$ es un producto de dos factores que dependen de $x$:

   $\frac{d}{dx}\left(20x^{20}y\right)=20\left(20x^{19}y+x^{20}\frac{dy}{dx}\right)=400x^{19}y+20x^{20}\frac{dy}{dx}$

   Derivar solo la potencia y escribir $400x^{19}y$ a secas es el error típico aquí.

3. 3

   Deriva el término con $y$ puro y el lado derecho.

   $\frac{d}{dx}\left(y^{8}\right)=8y^{7}\frac{dy}{dx},\qquad \frac{d}{dx}\left(33-30x^{6}\right)=-180x^{5}$

   La constante $33$ no aporta nada.

4. 4

   Arma la ecuación ya derivada.

   $400x^{19}y+20x^{20}\frac{dy}{dx}+8y^{7}\frac{dy}{dx}=-180x^{5}$

5. 5

   Agrupa los términos con $\frac{dy}{dx}$ en un lado y factoriza.

   $\left(20x^{20}+8y^{7}\right)\frac{dy}{dx}=-180x^{5}-400x^{19}y$

   Factorizar siempre es posible porque $\frac{dy}{dx}$ aparece únicamente a la primera potencia: la derivación implícita de una relación polinómica siempre resulta lineal en $\frac{dy}{dx}$.

6. 6

   Divide y simplifica.

   $\frac{dy}{dx}=\frac{-180x^{5}-400x^{19}y}{20x^{20}+8y^{7}}=\frac{-45x^{5}-100x^{19}y}{5x^{20}+2y^{7}}$

   Una comprobación numérica: en $x=0.9$ la curva da $y=1.38685$, y la fórmula devuelve $-2.2271533$, que coincide con la derivada numérica de la $y(x)$ definida implícitamente hasta la novena cifra decimal ✓. La respuesta contiene legítimamente tanto $x$ como $y$, como suele ocurrir con las derivadas implícitas.