Para la curva y = 3x⁴ − 6x² + 2, halla la pendiente en el punto cuya coordenada x vale 2 y una ecuación de la recta tangente en ese punto.

Step-by-step solution

1. 1

   Deriva la curva. Término a término, $\frac{dy}{dx}=12x^3-12x$. La derivada es la función pendiente: al darle un valor de $x$ devuelve la pendiente de la recta tangente en ese punto.

2. 2

   Evalúa la pendiente en $x=2$. $12(2)^3-12(2)=12(8)-24=96-24=72$, así que la tangente tiene pendiente $m=72$.

3. 3

   Halla el verdadero punto de tangencia. El enunciado impreso etiqueta el punto como $(2,-2)$, pero al sustituir se obtiene $y(2)=3(16)-6(4)+2=48-24+2=26$. La curva pasa por $(2,26)$; el valor de $y$ impreso es una errata, y usarlo colocaría la recta en una posición equivocada.

4. 4

   Aplica la forma punto-pendiente. Con $m=72$ y $(x_1,y_1)=(2,26)$: $y-26=72(x-2)$.

5. 5

   Desarrolla hasta la forma pendiente-ordenada al origen. $y-26=72x-144$, de donde $y=72x-118$.

6. 6

   Verifica. En $x=2$ la recta da $144-118=26$, que coincide con la curva, y su pendiente $72$ coincide con la derivada: las dos condiciones que debe cumplir una recta tangente.