Calcula la integral polar iterada de 2cos(theta)sen(theta)/r² por r dr, con r desde raíz(cos theta · sen theta) hasta 1 y theta desde 0 hasta π/2.

Step-by-step solution

1. 1

   Simplifica primero el integrando. El elemento de área en polares ya aporta el factor $r$, así que cancela una potencia del denominador:

   $\frac{2\cos\theta\sin\theta}{r^{2}}\cdot r=\frac{2\cos\theta\sin\theta}{r}=\frac{\sin2\theta}{r}$

   usando la identidad del ángulo doble $2\sin\theta\cos\theta=\sin2\theta$. Un integrando del tipo $\tfrac1r$ es la señal de que viene un logaritmo.

2. 2

   Haz la integral interior en $r$. Para $\theta$ fijo, el numerador es constante:

   $\int_{\sqrt{\cos\theta\sin\theta}}^{1}\frac{\sin2\theta}{r}\,dr=\sin2\theta\Big[\ln r\Big]_{\sqrt{\cos\theta\sin\theta}}^{1}=-\sin2\theta\,\ln\sqrt{\cos\theta\sin\theta}$

   ya que $\ln1=0$. El límite inferior está por debajo de $1$, así que su logaritmo es negativo y toda la expresión resulta positiva.

3. 3

   Transforma el logaritmo con el ángulo doble. Como $\cos\theta\sin\theta=\tfrac12\sin2\theta$,

   $-\ln\sqrt{\cos\theta\sin\theta}=-\tfrac12\ln\!\left(\tfrac12\sin2\theta\right)=-\tfrac12\left(\ln\sin2\theta-\ln2\right)$

   de modo que la integral restante es

   $I=-\frac12\int_{0}^{\pi/2}\sin2\theta\left(\ln\sin2\theta-\ln2\right)d\theta$

4. 4

   Sustituye $u=2\theta$. Con $d\theta=\tfrac{du}{2}$ y $u$ recorriendo de $0$ a $\pi$:

   $I=-\frac14\left[\int_{0}^{\pi}\sin u\,\ln\sin u\,du-\ln2\int_{0}^{\pi}\sin u\,du\right]$

5. 5

   Usa las dos integrales estándar. La elemental es $\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin u\,du=2$. La logarítmica es el resultado clásico

   $\int_{0}^{\pi}\sin u\,\ln\sin u\,du=2\ln2-2$

   Sustituyendo ambas:

   $I=-\frac14\left[(2\ln2-2)-2\ln2\right]=-\frac14(-2)=\frac12$

6. 6

   Verifica numéricamente. Aplicando la regla de Simpson al integrando reducido en $\theta$, $-\sin2\theta\ln\sqrt{\cos\theta\sin\theta}$, sobre $(0,\tfrac\pi2)$ se obtiene $0.4999999990$ ✓, que coincide con $\tfrac12$ hasta ocho decimales. Nota que el integrando es integrable en ambos extremos pese a que el logaritmo se dispara allí, porque $\sin2\theta$ se anula más rápido de lo que diverge el $\ln$.