Determina, para cada a > 0, si la serie desde n = 2 hasta infinito de ln(1 + (−1)ⁿ/nᵃ) converge absolutamente, converge condicionalmente o diverge.

Step-by-step solution

1. 1

   No estudies solo la parte alternada. Los términos parecen alternados y el criterio de Leibniz tienta de inmediato. Pero $\ln(1+x)$ no es una función impar: $\ln(1+t)$ y $\ln(1-t)$ no se cancelan, y el sesgo que queda es lo que realmente decide este problema. Así que desarrolla en serie en lugar de aplicar un criterio.

2. 2

   Desarrolla el logaritmo. Con $x_n=(-1)^n n^{-\alpha}\to 0$ y $\ln(1+x)=x-\tfrac{x^2}{2}+O(x^3)$,

   $\ln\!\left(1+\frac{(-1)^n}{n^{\alpha}}\right)=\underbrace{\frac{(-1)^n}{n^{\alpha}}}_{\text{alternante}}-\underbrace{\frac{1}{2n^{2\alpha}}}_{\text{siempre negativo}}+O\!\left(\frac{1}{n^{3\alpha}}\right)$

   El segundo término no cambia de signo en ningún momento: ahí está el sesgo oculto.

3. 3

   Ocúpate de la parte alternada. $\sum (-1)^n n^{-\alpha}$ converge para todo $\alpha>0$ por Leibniz (los términos decrecen monótonamente a cero), y converge absolutamente exactamente cuando $\alpha>1$. Así que esta parte nunca provoca divergencia.

4. 4

   Ocúpate de la parte cuadrática: esta es la que decide. $\sum \tfrac{1}{2}n^{-2\alpha}$ es una $p$-serie con $p=2\alpha$; converge si y solo si $2\alpha>1$, es decir, $\alpha>\tfrac12$. Cuando $\alpha\le\tfrac12$ esta parte diverge a $-\infty$ mientras la parte alternada permanece acotada, así que toda la serie diverge.

5. 5

   Reúne los tres regímenes. El resto $O(n^{-3\alpha})$ está dominado por el término $n^{-2\alpha}$, así que nunca cambia el veredicto:

   • $\alpha>1$: las dos partes convergen absolutamente, ya que $\left|\ln\left(1+\tfrac{(-1)^n}{n^\alpha}\right)\right|\sim n^{-\alpha}$ y $\sum n^{-\alpha}$ converge.
   • $\tfrac12<\alpha\le 1$: la serie converge, pero $\left|\ln(\cdot)\right|\sim n^{-\alpha}$ con $\alpha\le 1$ hace que $\sum|\cdot|$ diverja: convergencia condicional.
   • $0<\alpha\le\tfrac12$: divergente.
6. 6

   Escribe el resultado.

   $\sum_{n=2}^{\infty}\ln\!\left(1+\frac{(-1)^n}{n^{\alpha}}\right)=\begin{cases}\text{absolutamente convergente}, & \alpha>1\\[2pt]\text{condicionalmente convergente}, & \tfrac12<\alpha\le 1\\[2pt]\text{divergente}, & 0<\alpha\le\tfrac12\end{cases}$

   La moraleja: para $\ln(1+a_n)$ con $a_n$ alternada, desarrolla siempre hasta el segundo orden antes de aplicar un criterio de series alternadas.