Halla la suma de x^(n−1)/n para n de 1 a infinito.

Step-by-step solution

1. 1

   Desplaza el exponente para llegar a una serie estándar. La identidad conocida lleva $x^{n}$ arriba, no $x^{n-1}$. Para $x\neq 0$, saca un factor $x$ de toda la suma:

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{\,n-1}}{n}=\frac{1}{x}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}$

   La restricción $x\neq 0$ aparece aquí y habrá que retomarla más adelante.

2. 2

   Usa la serie del logaritmo. Integrando término a término la serie geométrica $\sum_{n\ge 0}t^{n}=\dfrac{1}{1-t}$ desde $0$ hasta $x$ se obtiene

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}=-\ln(1-x),\qquad |x|<1$

3. 3

   Divide entre $x$ para llegar a la forma cerrada.

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{\,n-1}}{n}=-\frac{\ln(1-x)}{x},\qquad 0<|x|<1$

4. 4

   Trata $x=0$ por separado. La serie original en $x=0$ es $\dfrac{0^{0}}{1}+0+0+\cdots$, cuyo primer término es el ambiguo $0^{0}$; la forma cerrada queda igualmente como $\tfrac00$. Ambas cosas se resuelven con un límite:

   $\lim_{x\to 0}\frac{-\ln(1-x)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{1/(1-x)}{1}=1$

   por la regla de L'Hôpital. Así que $x=0$ es una singularidad removible, y el valor natural allí es $1$.

5. 5

   Enuncia la respuesta completa.

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{\,n-1}}{n}=\begin{cases}-\dfrac{\ln(1-x)}{x},&0<|x|<1\\[4pt]1,&x=0\end{cases}$

   Numéricamente, en $x=0.4$ una suma parcial de 400 términos da $1.27706405941$ y $-\ln(0.6)/0.4=1.27706405941$ ✓.