Para delta > 0 fijo, evalúa el límite cuando rho tiende a infinito de (2 arctan(rho/delta)/pi)^rho y decide si el ln de esa cantidad menos 1 puede estar definido alguna vez para rho real.

Step-by-step solution

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   Fija la base para $\rho$ finito. Para todo $\rho>0$ finito y todo $\delta>0$ fijo, el argumento $\rho/\delta$ es finito, así que $\arctan\frac{\rho}{\delta}<\frac{\pi}{2}$ estrictamente: el valor $\frac{\pi}{2}$ es solo una asíntota horizontal, nunca se alcanza. Por lo tanto

   $0<\frac{2\arctan\frac{\rho}{\delta}}{\pi}<1$

   Este es el punto clave: la base se acerca a $1$ por debajo, así que elevarla a una potencia grande la empuja hacia abajo en lugar de dejarla en $1$.

2. 2

   Reescribe la base como $1$ menos una cantidad pequeña. Usa la identidad $\arctan u+\arctan\frac{1}{u}=\frac{\pi}{2}$ para $u>0$:

   $\arctan\frac{\rho}{\delta}=\frac{\pi}{2}-\arctan\frac{\delta}{\rho}\qquad\Longrightarrow\qquad \frac{2\arctan\frac{\rho}{\delta}}{\pi}=1-\frac{2}{\pi}\arctan\frac{\delta}{\rho}$

   Cuando $\rho\to+\infty$ se tiene $\frac{\delta}{\rho}\to 0$ y $\arctan u\sim u$, así que la base se comporta como $1-\frac{2\delta}{\pi\rho}$.

3. 3

   Aplica el límite exponencial clásico. Como $\lim_{\rho\to\infty}\left(1-\frac{c}{\rho}\right)^{\rho}=e^{-c}$, tomando $c=\frac{2\delta}{\pi}$ se obtiene

   $\lim_{\rho\to+\infty}\left(\frac{2\arctan\frac{\rho}{\delta}}{\pi}\right)^{\rho}=e^{-2\delta/\pi}$

   La advertencia conocida de que $\left(1-\frac1n\right)^{n}\to e^{-1}$, y no $1$, es exactamente el mismo fenómeno: una base que tiende a $1$ pelea contra un exponente que tiende a infinito, y el producto $\rho\cdot\frac{2\delta}{\pi\rho}$ decide el ganador.

4. 4

   Concluye que el argumento del logaritmo es negativo. Como $\delta>0$, resulta $0<e^{-2\delta/\pi}<1$, de donde

   $\left(\frac{2\arctan\frac{\rho}{\delta}}{\pi}\right)^{\rho}-1\ \longrightarrow\ e^{-2\delta/\pi}-1<0$

   Además, para todo $\rho>0$ finito la base ya es estrictamente menor que $1$, así que el corchete es estrictamente negativo, no solo en el límite. El logaritmo real de un número negativo no está definido, de modo que ese $\ln$ nunca tiene sentido sobre los reales.

5. 5

   Verifica ambas afirmaciones numéricamente. Con $\delta=1$: $e^{-2/\pi}=0.5290778$, mientras que la expresión da $0.5191644$ en $\rho=10$, $0.5280135$ en $\rho=100$, $0.5289707$ en $\rho=10^{3}$ y $0.5290778$ en $\rho=10^{7}$: converge al valor previsto y claramente no a $1$. Con $\delta=3$ también se alcanza el objetivo $e^{-6/\pi}=0.1481012$. Y el corchete vale $-0.2410$, $-0.5000$, $-0.4808$ y $-0.4710$ en $\rho=0.1,1,10,1000$: negativo en todos los casos.