Una función y = f(x) satisface la ecuación diferencial dy/dx = 3x²(y − 4). Si f(0) = 6, halla la solución particular.

Step-by-step solution

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   Detecta que la ecuación es separable y revisa la solución especial. El lado derecho es una función de $x$ por una función de $y$, así que las variables se pueden separar. Antes de dividir, observa que $y=4$ anula el lado derecho y es en sí misma una solución constante; el valor inicial $f(0)=6\neq 4$ nos dice que nuestra solución no es esa, así que dividir entre $y-4$ es legítimo cerca del punto inicial.

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   Separa las variables. Pasa todo lo de $y$ a la izquierda y todo lo de $x$ a la derecha:

   $\frac{1}{y-4}\,dy=3x^{2}\,dx$

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   Integra ambos lados. El de la izquierda es un logaritmo, el de la derecha una potencia:

   $\int\frac{1}{y-4}\,dy=\int 3x^{2}\,dx\ \Longrightarrow\ \ln|y-4|=x^{3}+C$

   Basta con una sola constante, porque las de ambos lados se pueden fundir en una.

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   Aplica la exponencial para despejar $y$. Aplicando $e^{(\cdot)}$ a ambos lados,

   $|y-4|=e^{x^{3}+C}=e^{C}e^{x^{3}}$

   Como $e^{C}$ es una constante positiva arbitraria y el signo de $y-4$ queda absorbido al permitir que la constante sea negativa, se escribe

   $y-4=Ke^{x^{3}}\ \Longrightarrow\ y=4+Ke^{x^{3}}$

   con $K$ cualquier constante real ($K=0$ recupera la solución especial $y=4$).

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   Aplica la condición inicial. Sustituyendo $x=0$, $y=6$ y usando $e^{0}=1$:

   $6=4+K\cdot 1\ \Longrightarrow\ K=2$

   Así que la solución particular es

   $y=4+2e^{x^{3}}$

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   Verifica que la solución cumple ambos requisitos. Derivando, $\dfrac{dy}{dx}=2\cdot 3x^{2}e^{x^{3}}=6x^{2}e^{x^{3}}$, mientras que $3x^{2}(y-4)=3x^{2}\cdot 2e^{x^{3}}=6x^{2}e^{x^{3}}$: idénticos. Una comprobación por diferencias centradas en $x=0.5$, $1.1$ y $-0.8$ coincide con $3x^{2}(y-4)$ hasta cinco decimales, y $y(0)=4+2=6$, como se pedía.