Calcula el límite de (√(3 + x) − √3)/x cuando x tiende a 0.

Step-by-step solution

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   Confirmar la forma indeterminada. En $x=0$ el numerador es $\sqrt{3}-\sqrt{3}=0$ y el denominador es $0$, lo que da $\frac{0}{0}$. La sustitución por sí sola no basta para terminar.

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   Elegir la racionalización antes que la factorización. El obstáculo es una diferencia de raíces cuadradas, así que se multiplican numerador y denominador por el conjugado $\sqrt{3+x}+\sqrt{3}$. Esto aprovecha $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ para quitar los radicales de arriba.

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   Simplificar el numerador. $\left(\sqrt{3+x}\right)^2-\left(\sqrt{3}\right)^2=(3+x)-3=x$, así que el cociente pasa a ser $\frac{x}{x\left(\sqrt{3+x}+\sqrt{3}\right)}$.

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   Cancelar el factor $x$. Para $x\neq 0$ esto es igual a $\frac{1}{\sqrt{3+x}+\sqrt{3}}$, y un límite solo mira los valores cercanos a $0$, nunca el propio $0$.

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   Sustituir $x=0$. La expresión reducida es continua ahí, y da $\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$ tras racionalizar el denominador.

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   Comprobar numéricamente. Un cociente incremental en $x=10^{-8}$ devuelve $0.288675$, y $\frac{\sqrt{3}}{6}=0.2886751$: coinciden hasta seis decimales.