Calcular la integral definida de 1 respecto de x entre 0 y 2π.

Step-by-step solution

1. 1

   Interpretar primero la integral geométricamente. La gráfica de $y=1$ es una recta horizontal a la altura $1$, así que la integral es el área de un rectángulo de altura $1$ sobre el intervalo $[0,2\pi]$. Su área es base por altura, es decir, la longitud del intervalo, de modo que la respuesta debería ser $2\pi$ antes de hacer nada de cálculo.

2. 2

   Hallar una primitiva. Buscamos $F$ tal que $F'(x)=1$, y

   $\frac{d}{dx}(x)=1$

   así que $F(x)=x$ sirve. (Es la regla de la potencia con $n=0$: $\int x^0dx=\tfrac{x^1}{1}$.)

3. 3

   Aplicar el teorema fundamental del cálculo.

   $\int_{0}^{2\pi}1\,dx=\Bigl[x\Bigr]_{0}^{2\pi}=2\pi-0=2\pi$

4. 4

   Dar el valor numérico.

   $2\pi=6.283185307\ldots\approx6.2832$

5. 5

   Anotar la regla general que esto ilustra. Para cualquier constante $c$ y límites $a<b$,

   $\int_a^b c\,dx=c(b-a)$

   Así, un integrando igual a $1$ mide longitud, y por eso justamente $\int_a^b1\,dx$ aparece como el término de «tiempo total» o «masa total» en las integrales aplicadas, y por eso el límite $2\pi$ de aquí, una vuelta completa, sale constantemente en los trabajos de trigonometría.

6. 6

   Contrastar con la lectura del rectángulo. Altura $1$ por base $2\pi-0=2\pi$ da $2\pi$ ✓, exactamente lo mismo que el resultado del teorema fundamental.