Hallar la transformada de Laplace de f(t) = t·e^(2t) e indicar su región de convergencia.

Step-by-step solution

1. 1

   Partir de la transformada que ya se conoce. La regla básica de las potencias da

   $\mathcal{L}\{t^{n}\}=\frac{n!}{s^{n+1}},\qquad\text{así que}\qquad \mathcal{L}\{t\}=\frac{1}{s^{2}}\quad (s>0).$

   Todo lo demás en este problema es el factor exponencial, y hay una regla hecha justo para eso.

2. 2

   Aplicar el primer teorema de traslación. El teorema dice que multiplicar una función por $e^{at}$ traslada su transformada:

   $\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\}=F(s-a),\qquad F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}.$

   Con $f(t)=t$, $F(s)=\tfrac{1}{s^{2}}$ y $a=2$, así que se reemplaza cada $s$ por $s-2$:

   $\mathcal{L}\{t\,e^{2t}\}=\frac{1}{(s-2)^{2}}.$

3. 3

   Contrastar con la regla de multiplicación por $t$. Una vía independiente es $\mathcal{L}\{t\,g(t)\}=-\frac{d}{ds}\mathcal{L}\{g(t)\}$ con $g(t)=e^{2t}$, cuya transformada es $\tfrac{1}{s-2}$:

   $-\frac{d}{ds}\left(\frac{1}{s-2}\right)=\frac{1}{(s-2)^{2}}.$

   Que dos teoremas distintos den la misma expresión es un fuerte indicio de que la respuesta es correcta.

4. 4

   Confirmar directo desde la definición. Integrando por partes con $u=t$, $dv=e^{-(s-2)t}dt$:

   $\int_{0}^{\infty}t\,e^{2t}e^{-st}\,dt=\int_{0}^{\infty}t\,e^{-(s-2)t}\,dt=\left[\frac{-t\,e^{-(s-2)t}}{s-2}\right]_{0}^{\infty}+\frac{1}{s-2}\int_{0}^{\infty}e^{-(s-2)t}dt=\frac{1}{(s-2)^{2}}.$

5. 5

   Indicar la región de convergencia. El término de frontera se anula y la integral final converge solo cuando el exponente $-(s-2)$ es negativo, es decir

   $s-2>0\;\Longleftrightarrow\;s>2.$

   Eso también se ve en la propia respuesta: la transformada tiene un polo doble en $s=2$, y la región de convergencia siempre queda a la derecha del polo más a la derecha.