Evalúa el límite de (4 − x²)/(2x² + x³) cuando x tiende a −2.

Step-by-step solution

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   Probar la sustitución. En $x=-2$ el numerador vale $4-4=0$ y el denominador $8-8=0$, así que la forma es $\frac{0}{0}$ y tiene que haber un factor común.

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   Factorizar el numerador. Como diferencia de cuadrados, $4-x^2=(2-x)(2+x)$. Ojo con el orden: escribirlo como $-(x-2)(x+2)$ es equivalente, pero facilita equivocarse de signo.

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   Factorizar el denominador. Saca el factor común $x^2$: $2x^2+x^3=x^2(2+x)$.

4. 4

   Cancelar el factor común. Para $x\neq -2$ el cociente vale $\frac{(2-x)(2+x)}{x^2(2+x)}=\frac{2-x}{x^2}$, y el punto $x=-2$ en sí es irrelevante para el límite.

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   Sustituir en la forma reducida. $\frac{2-(-2)}{(-2)^2}=\frac{4}{4}=1$.

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   Interpretar el resultado. La función original tiene una discontinuidad evitable en $x=-2$: asignarle el valor $1$ la haría continua ahí.