Halla la integral indefinida de (x⁴ − 3x² + 5)/x respecto de x.

Step-by-step solution

1. 1

   No hay que recurrir a la sustitución. Un denominador formado por un solo monomio significa que la fracción se separa limpiamente, y separarla primero convierte un cociente incómodo en tres integrales estándar. Tanto la sustitución como la integración por partes serían esfuerzo desperdiciado aquí.

2. 2

   Dividir cada término del numerador entre $x$. $\frac{x^4-3x^2+5}{x}=\frac{x^4}{x}-\frac{3x^2}{x}+\frac5x=x^3-3x+\frac5x.$

3. 3

   Aplicar la regla de la potencia a la parte polinómica. $\displaystyle\int x^3\,dx=\frac{x^4}{4}$ y $\displaystyle\int -3x\,dx=-\frac{3x^2}{2}$.

4. 4

   Tratar el término $5/x$ con la regla del logaritmo. La regla de la potencia falla con el exponente $-1$, así que en su lugar $\displaystyle\int\frac5x\,dx=5\ln|x|$. El valor absoluto importa porque el integrando original también está definido para $x$ negativo.

5. 5

   Reunir todo y verificar derivando. $\int\frac{x^4-3x^2+5}{x}\,dx=\frac{x^4}{4}-\frac{3x^2}{2}+5\ln|x|+C.$ Al derivar se obtiene $x^3-3x+\frac5x$, que es exactamente el integrando simplificado, así que la respuesta queda confirmada.