Hallar la integral indefinida de ln(x) · arctan(x) respecto de x.

Step-by-step solution

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   Elegir qué factor derivar. Tanto $\ln x$ como $\tan^{-1}x$ tienen derivadas simples pero primitivas incómodas. Tomar $u=\ln x$ (así $du=\frac{dx}{x}$) y $dv=\tan^{-1}(x)\,dx$ funciona mejor, porque el $\frac{1}{x}$ resultante se cancelará contra la $x$ que hay dentro de $v$: es la elección que deja más simple la integral sobrante, en vez de empeorarla.

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   Hallar $v=\int\tan^{-1}x\,dx$ con una integración por partes preliminar. Con $a=\tan^{-1}x$ y $db=dx$:

   $\int\tan^{-1}x\,dx=x\tan^{-1}x-\int\frac{x}{1+x^{2}}dx=x\tan^{-1}x-\tfrac12\ln(1+x^{2}).$

   La última integral es una sustitución en $u$ con $u=1+x^{2}$, de la que sale el $\tfrac12$.

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   Aplicar la integración por partes principal. Con $u=\ln x$ y $v=x\tan^{-1}x-\tfrac12\ln(1+x^{2})$:

   $\int\ln x\,\tan^{-1}x\,dx=\ln x\left(x\tan^{-1}x-\tfrac12\ln(1+x^{2})\right)-\int\left(x\tan^{-1}x-\tfrac12\ln(1+x^{2})\right)\frac{dx}{x}.$

   Al dividir entre $x$ dentro de la integral queda

   $\int\ln x\,\tan^{-1}x\,dx=x\ln x\tan^{-1}x-\tfrac12\ln x\ln(1+x^{2})-\int\tan^{-1}x\,dx+\tfrac12\int\frac{\ln(1+x^{2})}{x}dx.$

   Esta es exactamente la cancelación anticipada en el paso 1: $x\tan^{-1}x\cdot\frac1x$ se reduce a $\tan^{-1}x$, una integral ya calculada.

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   Reconocer la integral restante como un dilogaritmo. La pieza $\int\frac{\ln(1+x^{2})}{x}dx$ no tiene primitiva elemental. Sustituyendo $t=-x^{2}$ y comparando con la definición $\operatorname{Li}_{2}(z)=-\int_{0}^{z}\frac{\ln(1-w)}{w}dw$ se obtiene

   $\int\frac{\ln(1+x^{2})}{x}dx=-\tfrac12\operatorname{Li}_{2}(-x^{2})+C.$

   Comprobación numérica: derivar $-\tfrac12\operatorname{Li}_{2}(-x^{2})$ en $x=0.6$ da $0.5124745$, y $\frac{\ln(1.36)}{0.6}=0.5124745$ ✓.

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   Armar la forma cerrada. Sustituyendo $\int\tan^{-1}x\,dx$ del paso 2 y el dilogaritmo del paso 4:

   $\int\ln x\,\tan^{-1}x\,dx=x\ln x\tan^{-1}x-\tfrac12\ln x\ln(1+x^{2})-x\tan^{-1}x+\tfrac12\ln(1+x^{2})-\tfrac14\operatorname{Li}_{2}(-x^{2})+C.$

   Así que la respuesta existe en forma cerrada, pero solo si se admite el dilogaritmo: ninguna combinación de funciones elementales sirve.

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   Verificar derivando numéricamente. Al evaluar la derivada del lado derecho con una diferencia central: en $x=0.5$ da $-0.32137603$ frente a $\ln(0.5)\tan^{-1}(0.5)=-0.32137603$ ✓; en $x=0.7$, $-0.21783065$ frente a $-0.21783065$ ✓. La coincidencia hasta ocho dígitos en dos puntos independientes confirma cada coeficiente.