Halla dy/dx para x sec y = 4y − y tan 2x.

Step-by-step solution

1. 1

   Tratar $y$ como función de $x$ en todo momento. La ecuación no se puede despejar para $y$ en forma cerrada, así que derivamos ambos lados respecto de $x$ y dejamos que cada $y$ arrastre un $\dfrac{dy}{dx}$ oculto por la regla de la cadena. Los dos lados contienen productos de un factor en $x$ por un factor en $y$, de modo que la regla del producto aparece dos veces.

2. 2

   Derivar el lado izquierdo. Con $u=x$ y $v=\sec y$, y usando $\dfrac{d}{dx}\sec y=\sec y\tan y\,\dfrac{dy}{dx}$: $\frac{d}{dx}\left(x\sec y\right)=\sec y + x\sec y\tan y\,\frac{dy}{dx}.$

3. 3

   Derivar el lado derecho, conservando el factor interior $2$. El término $4y$ da $4\dfrac{dy}{dx}$. Para $y\tan 2x$, la regla del producto junto con la regla de la cadena (observa que $\dfrac{d}{dx}\tan 2x = 2\sec^{2}2x$, no $\sec^{2}2x$) da $\frac{d}{dx}\left(y\tan 2x\right)=\frac{dy}{dx}\tan 2x + 2y\sec^{2}2x,$ así que todo el lado derecho se deriva como $4\frac{dy}{dx}-\frac{dy}{dx}\tan 2x-2y\sec^{2}2x.$ Perder ese factor $2$ es el error más frecuente de este problema.

4. 4

   Agrupar los términos con $\dfrac{dy}{dx}$ en un solo lado. Igualando las dos derivadas, $\sec y + x\sec y\tan y\,\frac{dy}{dx}=4\frac{dy}{dx}-\frac{dy}{dx}\tan 2x-2y\sec^{2}2x,$ y pasando todos los términos con $\dfrac{dy}{dx}$ a la derecha y el resto a la izquierda: $\sec y + 2y\sec^{2}2x=\frac{dy}{dx}\left(4-\tan 2x-x\sec y\tan y\right).$

5. 5

   Dividir para despejar la derivada. $\frac{dy}{dx}=\frac{\sec y + 2y\sec^{2}2x}{4-\tan 2x-x\sec y\tan y}.$ El resultado depende legítimamente de $x$ y de $y$, lo cual es normal en una curva implícita: para obtener un número hace falta un punto que satisfaga realmente la ecuación original.

6. 6

   Contrastar con el teorema de la función implícita. Escribiendo $F(x,y)=x\sec y-4y+y\tan 2x$, se tiene $F_{x}=\sec y+2y\sec^{2}2x$ y $F_{y}=x\sec y\tan y-4+\tan 2x$, y $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{F_{x}}{F_{y}}$ reproduce la misma expresión. Una prueba numérica lo confirma: en $x=0.3$ la curva pasa por $y=0.09084883$, y una diferencia centrada sobre la $y(x)$ resuelta implícitamente da $0.38647161$, mientras que la fórmula da $0.38647161$.