Halla la derivada parcial respecto de Pa de V = 1000M(Pg − Pa) / [Pg(Pv − Pa)(1 + (t − 20)b)], tratando M, Pg, Pv, t y b como constantes.

Step-by-step solution

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   Saca fuera todo lo que no dependa de $P_a$. Solo dos factores contienen $P_a$, uno en el numerador y otro en el denominador. Define la constante

   $C=\frac{1000M}{P_g\bigl(1+(t-20)b\bigr)},$

   de modo que

   $V=C\cdot\frac{P_g-P_a}{P_v-P_a}.$

   Aislar $C$ primero es lo que mantiene la derivación en una sola regla del cociente, en lugar de un enredo de producto y cociente.

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   Aplica la regla del cociente al cociente que queda. Con $f=P_g-P_a$ y $g=P_v-P_a$, las dos derivadas valen $-1$:

   $\frac{\partial}{\partial P_a}\frac{f}{g}=\frac{f'g-fg'}{g^{2}}=\frac{-(P_v-P_a)+(P_g-P_a)}{(P_v-P_a)^{2}}.$

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   Simplifica el numerador. Los dos términos en $P_a$ se cancelan:

   $-(P_v-P_a)+(P_g-P_a)=-P_v+P_a+P_g-P_a=P_g-P_v.$

   Así que la derivada del cociente es $\dfrac{P_g-P_v}{(P_v-P_a)^{2}}$: un numerador constante sobre un cuadrado. Esa cancelación es la razón de que la respuesta salga tan compacta.

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   Restituye el factor constante.

   $\frac{\partial V}{\partial P_a}=\frac{1000M\,(P_g-P_v)}{P_g\bigl(1+(t-20)b\bigr)\,(P_v-P_a)^{2}}.$

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   Revisa el signo y el caso especial. El denominador $(P_v-P_a)^{2}$ es positivo, así que el signo de $\partial V/\partial P_a$ queda fijado de una vez por todas según si $P_g$ supera o no a $P_v$: no cambia nunca al variar $P_a$. Y si $P_g=P_v$ la derivada es idénticamente cero, lo cual es correcto, porque entonces $V=C$ es una constante independiente de $P_a$.