Halla todas las funciones f que cumplen f(x)/f'(x) = tan((k−1)x), donde k es una constante distinta de 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Invierte el cociente para que aparezca la derivada logarítmica. Tomando recíprocos en ambos miembros, $\frac{f'(x)}{f(x)}=\cot\!\left((k-1)x\right).$ El miembro izquierdo es exactamente $\dfrac{d}{dx}\ln|f(x)|$, y por eso conviene hacer esta reorganización antes que nada: convierte una ecuación sobre $f$ y $f'$ en un simple problema de primitivas.

2. 2

   Integra ambos miembros. $\ln|f(x)|=\int\cot\!\left((k-1)x\right)dx.$ Escribe $m=k-1$ (no nulo por hipótesis) y sustituye $u=mx$, $du=m\,dx$: $\int\cot(mx)\,dx=\frac{1}{m}\int\cot u\,du=\frac{1}{m}\ln|\sin u|+C=\frac{1}{m}\ln\left|\sin(mx)\right|+C.$ El resultado estándar $\int\cot u\,du=\ln|\sin u|$ proviene de hacer el cambio $u$ sobre el propio seno.

3. 3

   Aplica la exponencial para recuperar $f$. De $\ln|f(x)|=\frac{1}{m}\ln|\sin(mx)|+C$ se obtiene $|f(x)|=e^{C}\left|\sin(mx)\right|^{1/m},$ y absorbiendo $\pm e^{C}$ en una única constante arbitraria no nula queda $f(x)=C\left|\sin\!\left((k-1)x\right)\right|^{\frac{1}{k-1}}.$

4. 4

   Verifica derivando. Con $m=k-1$ y $f=\left(\sin mx\right)^{1/m}$ en un intervalo donde $\sin mx>0$, la regla de la cadena da $f'=\frac{1}{m}\left(\sin mx\right)^{\frac1m-1}\cdot m\cos mx=\left(\sin mx\right)^{\frac1m-1}\cos mx,$ de modo que $\frac{f}{f'}=\frac{\left(\sin mx\right)^{1/m}}{\left(\sin mx\right)^{\frac1m-1}\cos mx}=\frac{\sin mx}{\cos mx}=\tan mx.$ El exponente $1/m$ es justamente lo que hace que las potencias de $\sin$ se cancelen hasta dejar una sola primera potencia.

5. 5

   Comprueba también de forma numérica. Toma $k=3$, con lo que $m=2$ y $f(x)=\sqrt{\sin 2x}$. En $x=0.5$ una diferencia centrada da $f'(0.5)=0.589003$ y $f(0.5)=0.917317$, así que $f/f'=1.557408$, mientras que $\tan(2\times 0.5)=\tan 1=1.557408$. Coinciden hasta la sexta cifra decimal.

6. 6

   Observa el dominio y el caso excluido. La solución solo tiene sentido donde $\sin\!\left((k-1)x\right)\neq 0$, así que $x$ debe evitar los múltiplos de $\pi/(k-1)$; en cada uno de esos intervalos la constante $C$ puede elegirse de forma independiente. Si $k=1$ el miembro derecho vale $\tan 0=0$, lo que obliga a $f\equiv 0$, y por eso se supone $k\neq 1$.