Evalúa F, la integral desde y = −1.65 hasta 0 de la integral desde x = −y/1.1015 hasta 0 de (14.1 − 11.515y) dx dy.

Step-by-step solution

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   Observa que el integrando no involucra x. Integrar una constante (en $x$) sobre un intervalo simplemente la multiplica por el ancho con signo: $\int_{-y/1.1015}^{0}(14.1-11.515y)\,dx = (14.1-11.515y)\left(0-\left(-\frac{y}{1.1015}\right)\right) = (14.1-11.515y)\frac{y}{1.1015}.$

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   Comprueba el signo de ese ancho antes de seguir. Para $y\in[-1.65,0]$ se tiene $-\tfrac{y}{1.1015}\ge 0$, así que el límite inferior queda por encima del límite superior $0$ y el ancho $\tfrac{y}{1.1015}$ es negativo. Como $14.1-11.515y>0$ en todo el intervalo, la integral interior es negativa y $F$ tiene que salir negativa: este es el paso en el que con más frecuencia se pierde un signo.

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   Redúcelo a una sola integral y desarrolla. $F = \frac{1}{1.1015}\int_{-1.65}^{0}\left(14.1y-11.515y^2\right)dy.$

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   Encuentra la primitiva. $\int\left(14.1y-11.515y^2\right)dy = 7.05y^2-\frac{11.515}{3}y^3.$

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   Aplica los límites en el orden correcto. En $y=0$ la primitiva vale $0$, así que $F=\tfrac{1}{1.1015}\left[0 - G(-1.65)\right]$ donde, con $(-1.65)^2 = 2.7225$ y $(-1.65)^3 = -4.492125$, $G(-1.65) = 7.05(2.7225)-\frac{11.515}{3}(-4.492125) = 19.193625+17.242273 = 36.435898.$

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   Divide y expresa el resultado con su signo. $F = \frac{-36.435898}{1.1015} \approx -33.0784.$ La cuadratura numérica directa de $(14.1-11.515y)\tfrac{y}{1.1015}$ sobre $[-1.65,0]$ devuelve $-33.0784368$, lo que confirma tanto la magnitud como el signo. Si la región buscada es el triángulo entre $x=0$ y $x=-\tfrac{y}{1.1015}$ con los límites escritos en orden creciente, la magnitud $33.0784$ es el valor que hay que dar.