Halla el límite de (x² − 3x + 2)/(√(5 − x) − √(x + 1)) cuando x tiende a 2.

Step-by-step solution

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   Confirma la forma indeterminada. Sustituyendo $x=2$: el numerador es $4-6+2=0$, y el denominador es $\sqrt{3}-\sqrt{3}=0$. Así que la expresión es del tipo $\tfrac00$ — todavía sin valor, pero ese cero compartido significa que hay un factor común $(x-2)$ escondido en ambas partes, esperando a que lo cancelen.

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   Factoriza el numerador. Dos números cuyo producto es $2$ y cuya suma es $-3$ son $-1$ y $-2$:

   $x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2)$

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   Racionaliza el denominador con su conjugado. Multiplica numerador y denominador por $\sqrt{5-x}+\sqrt{x+1}$, lo que convierte la diferencia de raíces en una diferencia de cuadrados:

   $\left(\sqrt{5-x}-\sqrt{x+1}\right)\left(\sqrt{5-x}+\sqrt{x+1}\right)=(5-x)-(x+1)=4-2x$

   Las raíces desaparecen por completo y queda una expresión lineal que contiene a la vista el cero problemático: $4-2x=-2(x-2)$.

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   Cancela el factor común. La expresión queda

   $\frac{(x-1)(x-2)\left(\sqrt{5-x}+\sqrt{x+1}\right)}{-2(x-2)}=-\frac{(x-1)\left(\sqrt{5-x}+\sqrt{x+1}\right)}{2}$

   válida para $x\neq2$ — que es todo lo que un límite necesita, porque describe el comportamiento cerca del punto, no en él. Esta forma algebraica se contrastó con la original en $x=1.5,1.9,2.1,2.5$ con precisión de $10^{-9}$ ✓.

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   Sustituye directamente ahora que la singularidad ha desaparecido. La función simplificada es continua en $x=2$:

   $-\frac{(2-1)\left(\sqrt{3}+\sqrt{3}\right)}{2}=-\frac{2\sqrt{3}}{2}=-\sqrt{3}$

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   Verifica numéricamente por ambos lados. En $x=2\pm10^{-7}$ el cociente original vale $-1.73205097$ y $-1.73205063$, que encierran a $-\sqrt{3}=-1.7320508$ ✓. La coincidencia por los dos lados confirma que el límite existe y vale

   $-\sqrt{3}\approx-1.7321$