¿Para qué valores de x es discontinua f(x) = (x^2 − 1)/(x^2 − 3x + 2)? Clasificar cada discontinuidad como evitable o no evitable y justificar la respuesta.

Step-by-step solution

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   Localizar los candidatos: los ceros del denominador. Una función racional es continua en todo punto donde su denominador no se anula, así que los únicos puntos problemáticos salen de

   $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)=0\ \Longrightarrow\ x=1,\ x=2.$

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   Factorizar también el numerador: eso es lo que decide la clasificación. Como $x^2-1=(x-1)(x+1)$,

   $f(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-2)}.$

   Una discontinuidad es evitable exactamente cuando el factor conflictivo se cancela, porque entonces existe el límite por ambos lados y lo único que falta es el valor de la función.

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   Analizar $x=1$: el factor se cancela, así que el límite existe. Para $x\neq 1$ la función coincide con $\dfrac{x+1}{x-2}$, de manera que

   $\lim_{x\to 1}f(x)=\frac{1+1}{1-2}=-2,$

   mientras que $f(1)$ no está definida. El límite existe pero no coincide con el valor (que falta), así que $x=1$ es una discontinuidad evitable: un hueco en $(1,-2)$. Redefiniendo $f(1)=-2$ quedaría reparada.

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   Analizar $x=2$: el factor no se cancela. Cerca de $x=2$ la forma reducida es $\dfrac{x+1}{x-2}$, con el numerador tendiendo a $3\neq 0$ y el denominador tendiendo a $0$, de modo que

   $\lim_{x\to 2^-}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to 2^+}f(x)=+\infty.$

   Numéricamente, $f(1.999999)\approx -3\times 10^{6}$ y $f(2.000001)\approx 3\times 10^{6}$. No existe ningún límite finito, así que ninguna redefinición lo arregla: $x=2$ es no evitable (una discontinuidad infinita con asíntota vertical).

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   Enunciar la conclusión con su justificación. $f$ es discontinua solo en $x=1$ y en $x=2$; $x=1$ es evitable porque el factor común $x-1$ se cancela y existe el límite $-2$, y $x=2$ es no evitable porque los límites laterales son infinitos y de signo contrario.