Deriva y = log(sen x) respecto de x.

Step-by-step solution

1. 1

   Identifica la composición. La función es un logaritmo envolviendo a una función trigonométrica, así que es $\ln u$ con la función interior $u=\sin x$. Eso pide la regla de la cadena y no ninguna identidad logarítmica.

2. 2

   Escribe la regla de la cadena. Para $y=\ln u$, $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{u}\cdot\frac{du}{dx}.$

3. 3

   Deriva la función interior. Con $u=\sin x$ se obtiene $\dfrac{du}{dx}=\cos x$.

4. 4

   Sustituye y simplifica. $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sin x}\cdot\cos x=\frac{\cos x}{\sin x}=\cot x.$

5. 5

   Anota el dominio y haz una comprobación de sensatez. La función original necesita $\sin x>0$, así que la derivada $\cot x$ se enuncia sobre esos intervalos. En $x=1$ la derivada vale $\cot 1\approx 0.642093$, que coincide con un cociente incremental numérico de $\ln(\sin x)$ en $x=1$.