Halla el desarrollo en serie de Taylor de eˣ en torno a x = 0.

Step-by-step solution

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   Escribe la plantilla que vas a rellenar. La serie de Taylor de $f$ en torno a $x=0$ es

   $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}$

   así que todo el trabajo consiste en calcular las derivadas de $f(x)=e^{x}$ en el único punto $0$.

2. 2

   Deriva una y otra vez. La exponencial es el punto fijo de la derivación:

   $f'(x)=e^{x},\quad f''(x)=e^{x},\quad\ldots,\quad f^{(n)}(x)=e^{x}\ \text{para todo }n\ge 0$

   Esta es la razón de que el desarrollo salga tan limpio: no hay ningún patrón de signos ni coeficientes crecientes que seguir.

3. 3

   Evalúa en el centro. Como $e^{0}=1$,

   $f^{(n)}(0)=1\qquad\text{para todo }n\ge 0$

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   Sustituye de nuevo en la plantilla. Todos los numeradores valen $1$, así que el coeficiente de $x^{n}$ es simplemente $\dfrac{1}{n!}$:

   $e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{4}}{4!}+\cdots$

5. 5

   Comprueba el radio de convergencia. Por el criterio del cociente entre términos consecutivos,

   $\left|\frac{x^{n+1}/(n+1)!}{x^{n}/n!}\right|=\frac{|x|}{n+1}\longrightarrow 0$

   para cada $x$ fijo, de modo que la serie converge absolutamente en todo $\mathbb{R}$ (radio $R=\infty$).

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   Contrasta un valor. En $x=1$ las sumas parciales $1,\ 2,\ 2.5,\ 2.6\overline{6},\ 2.708\overline{3},\ 2.71\overline{6}$ ascienden hacia $e=2.71828\ldots$, lo que confirma la afirmación $e^{1}=\sum 1/n!$.