Halla la serie de Maclaurin de tan(x)/(1 + x²) hasta el término de grado 7 inclusive.

Step-by-step solution

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   Elige multiplicar en lugar de derivar una y otra vez. Calcular $f^{(7)}(0)$ directamente sería brutal. En su lugar usa dos series que ya conoces y multiplícalas, quedándote solo con los términos de grado $\le 7$:

   $\tan x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\frac{17x^7}{315}+O\!\left(x^9\right)$

   $\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+O\!\left(x^8\right)$

   La segunda es la serie geométrica $\sum(-1)^n x^{2n}$, válida para $|x|<1$.

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   Observa que solo pueden sobrevivir las potencias impares. $\tan x$ es impar y $\dfrac{1}{1+x^2}$ es par, así que su producto es impar — todos los coeficientes pares tienen que anularse. Eso reduce a la mitad la contabilidad y da una comprobación de errores inmediata.

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   Agrupa los coeficientes de $x^3$ y $x^5$. Multiplica cada término de la serie de la tangente por cada término de la serie geométrica y reúne las potencias iguales:

   $[x^3]:\; 1\cdot(-1)+\frac13\cdot 1=-\frac23$

   $[x^5]:\; 1\cdot 1+\frac13\cdot(-1)+\frac{2}{15}\cdot 1=\frac{15-5+2}{15}=\frac{12}{15}=\frac45$

4. 4

   Agrupa el coeficiente de $x^7$. Contribuyen cuatro productos:

   $[x^7]:\;1\cdot(-1)+\frac13\cdot 1+\frac{2}{15}\cdot(-1)+\frac{17}{315}\cdot 1$

   Con el común denominador $315$: $\dfrac{-315+105-42+17}{315}=\dfrac{-235}{315}=-\dfrac{47}{63}$.

5. 5

   Ensambla la serie y pruébala numéricamente.

   $\frac{\tan x}{1+x^2}=x-\frac{2}{3}x^3+\frac{4}{5}x^5-\frac{47}{63}x^7+O\!\left(x^9\right)$

   En $x=0.1$ la serie truncada da $0.09934125873$ mientras que $\tan(0.1)/1.01=0.09934125949$ — coinciden en $8$ cifras decimales, exactamente la precisión que predice un término de error $O(x^9)$ $\checkmark$.