Resuelve la ecuación diferencial y'' + 4y = 0.

Step-by-step solution

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   Prueba con una solución exponencial. Para una EDO lineal con coeficientes constantes, $y=e^{rx}$ convierte siempre la ecuación en una algebraica:

   $y=e^{rx}\Rightarrow y''=r^2e^{rx}$

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   Forma la ecuación característica. Al sustituir y sacar factor común $e^{rx}$, que nunca es nulo:

   $r^2e^{rx}+4e^{rx}=e^{rx}\left(r^2+4\right)=0\quad\Longrightarrow\quad r^2+4=0$

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   Despeja $r$.

   $r^2=-4\quad\Longrightarrow\quad r=\pm 2i$

   Unas raíces imaginarias puras indican oscilación pura, sin crecimiento ni amortiguamiento.

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   Pasa las exponenciales complejas a forma real. Para raíces $r=\alpha\pm\beta i$ la solución general real es $e^{\alpha x}\left(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x\right)$. Aquí $\alpha=0$ y $\beta=2$, así que la envolvente exponencial vale $e^{0}=1$:

   $y(x)=C_1\cos 2x+C_2\sin 2x$

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   Verifica por sustitución directa. Con $y=\cos 2x$: $y''=-4\cos 2x$, de modo que $y''+4y=0$ $\checkmark$. Con $y=\sin 2x$: $y''=-4\sin 2x$, de nuevo $0$ $\checkmark$. Como la ecuación es lineal, cualquier combinación de ambas también sirve. Físicamente esto es un movimiento armónico simple de frecuencia angular $\omega=2$ y periodo $\pi$.