Calcular la integral doble de x² − 8y sobre la región D = {−2 ≤ x ≤ −1, 0 ≤ y ≤ 1}.

Step-by-step solution

1. 1

   Reconocer un rectángulo con términos separables. Sobre un rectángulo de límites constantes, la integral de una suma se parte en suma de integrales, y aquí cada término es función de una sola variable, así que cada uno se convierte en un producto de integrales de una dimensión.

2. 2

   Separar el integrando. $\iint_D\left(x^2-8y\right)dA=\iint_D x^2\,dA-8\iint_D y\,dA$. Tratar las dos piezas por separado evita arrastrar ambas variables a través de una misma primitiva.

3. 3

   Calcular la pieza de x^2. $\int_{-2}^{-1}x^2\,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{-1}=\frac{-1}{3}-\frac{-8}{3}=\frac73$, y $\int_0^1 dy=1$, así que esta pieza aporta $\frac73$. Nótese que $x^2$ se mantiene positivo aunque $x$ sea negativo.

4. 4

   Calcular la pieza de -8y. $\int_{-2}^{-1}dx=1$ y $\int_0^1 y\,dy=\frac12$, así que esta pieza aporta $-8\cdot 1\cdot\frac12=-4$.

5. 5

   Combinar. $\frac73-4=\frac{7-12}{3}=-\frac53\approx -1.6667$. El signo negativo es lo esperado: el término $-8y$ pesa más que $x^2$, que en este rectángulo nunca pasa de $4$, mientras que $8y$ llega a $8$.

6. 6

   Comprobación numérica. Una cuadratura adaptativa sobre el mismo rectángulo devuelve $-1.6666667$, que coincide con $-\frac53$.