Derivar f(x) = x/(x² + 1).

Step-by-step solution

1. 1

   Plantear la regla del cociente. Con $u=x$ y $v=x^2+1$,

   $f'=\frac{u'v-uv'}{v^2},\qquad u'=1,\qquad v'=2x$

   El orden en el numerador importa: es derivada del numerador por el denominador menos numerador por la derivada del denominador, nunca al revés. Observa también que $v=x^2+1\ge1>0$ en todo punto, así que $f$ está definida y es derivable en todo $\mathbb{R}$.

2. 2

   Sustituir en la fórmula.

   $f'(x)=\frac{(1)\left(x^2+1\right)-(x)(2x)}{\left(x^2+1\right)^2}$

3. 3

   Simplificar el numerador.

   $x^2+1-2x^2=1-x^2$

   así que

   $f'(x)=\frac{1-x^2}{\left(x^2+1\right)^2}$

   Los términos en $x^2$ se cancelan en parte, y eso es lo que convierte una expresión enredada en una limpia.

4. 4

   Leer los extremos directamente en la respuesta. El denominador es siempre positivo, así que el signo de $f'$ es el signo de $1-x^2=(1-x)(1+x)$. Eso es positivo en $(-1,1)$ y negativo fuera, lo que da un mínimo local en $x=-1$ (donde $f=-\tfrac12$) y un máximo local en $x=1$ (donde $f=\tfrac12$).

5. 5

   Observar el comportamiento en el infinito. Cuando $|x|\to\infty$, el denominador crece como $x^2$ mientras el numerador crece como $x$, así que $f(x)\to0$: el eje $x$ es una asíntota horizontal en las dos direcciones, y $\pm\tfrac12$ son los valores extremos globales.

6. 6

   Verificar numéricamente. Comparando la forma cerrada con cocientes de diferencias simétricas de paso $10^{-7}$: en $x=0.4$ las dos dan $0.624257$; en $x=-1.7$, $-0.124900$; en $x=3.3$, $-0.069957$ ✓.