Hallar una aproximación en serie de potencias para ln((1+x)/(1-x)).

Step-by-step solution

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   Separar primero el logaritmo del cociente. En lugar de desarrollar el cociente completo, se usa $\ln(A/B)=\ln A-\ln B$: $\ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right)=\ln(1+x)-\ln(1-x).$ Este es el paso que vuelve fácil todo el problema, porque las dos piezas tienen series de Maclaurin estándar.

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   Escribir las dos series estándar. Para $|x|<1$, $\ln(1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}x^{n}}{n},$ y reemplazando $x$ por $-x$, $\ln(1-x)=-x-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}-\cdots=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}.$

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   Restar y observar cómo se cancelan las potencias pares. Término a término, las contribuciones en $x^{2}$ son $-\tfrac12 x^{2}$ y $-\tfrac12 x^{2}$, que se cancelan al restar; las contribuciones en $x^{3}$ son $+\tfrac13 x^{3}$ y $-\tfrac13 x^{3}$, que se refuerzan. En general solo sobreviven las potencias impares y cada una queda duplicada: $\ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right)=2\left(x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+\cdots\right)=2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}.$ Que solo haya potencias impares es exactamente lo que exige la simetría de la función: reemplazar $x$ por $-x$ invierte el argumento y cambia el signo del logaritmo, así que la función es impar.

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   Anotar los truncamientos útiles. Cortar la serie da las aproximaciones prácticas $\ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\approx 2x,\qquad \approx 2x+\frac{2x^{3}}{3},\qquad \approx 2x+\frac{2x^{3}}{3}+\frac{2x^{5}}{5}.$ La primera es la aproximación lineal (de la recta tangente) en $x=0$.

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   Indicar el intervalo de validez y comprobarlo. Las dos series de origen necesitan $|x|<1$, y el propio cociente solo es positivo allí, así que el desarrollo vale para $|x|<1$. Comprobación numérica en $x=0.2$: el valor exacto es $\ln(1.2/0.8)=\ln 1.5=0.405465108$, mientras que $2x+\tfrac23 x^{3}+\tfrac25 x^{5}=0.4+0.005333333+0.000128=0.405461333$ - coinciden hasta la quinta cifra decimal, y el término siguiente $\tfrac27 x^{7}=3.66\times10^{-6}$ explica la pequeña diferencia.

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   Notar por qué esta forma es la preferida para calcular logaritmos. Todo $r$ positivo se puede escribir como $(1+x)/(1-x)$ con $x=(r-1)/(r+1)$, y ese $x$ es pequeño incluso cuando $r$ está lejos de $1$. Como la serie solo tiene términos impares y converge el doble de rápido que la serie simple de $\ln(1+x)$, esta identidad es la vía clásica para obtener logaritmos con alta precisión a mano.