Deriva y = e^(2x) · artanh(√(e^x − 1)) respecto de x.

Step-by-step solution

1. 1

   Establece el dominio antes de derivar. La raíz cuadrada exige $e^{x}-1\ge 0$, es decir $x\ge 0$, y $\operatorname{artanh}(z)$ exige $|z|<1$, es decir $e^{x}-1<1$, o sea $x<\ln 2$. Así que la función solo existe en

   $0\le x<\ln 2\approx 0.693$

   Saber esto explica el factor $2-e^{x}$ que aparece más adelante y por qué nunca cambia de signo.

2. 2

   Plantea la regla del producto. Con $u=e^{2x}$ y $v=\operatorname{artanh}\left(\sqrt{e^{x}-1}\right)$,

   $y'=u' v+uv',\qquad u'=2e^{2x}$

   La mitad difícil es $v'$, una composición de dos capas.

3. 3

   Deriva la raíz cuadrada interior. Con $z=\left(e^{x}-1\right)^{1/2}$, la regla de la cadena da

   $z'=\frac12\left(e^{x}-1\right)^{-1/2}\cdot e^{x}=\frac{e^{x}}{2\sqrt{e^{x}-1}}$

4. 4

   Aplica la derivada del artanh y simplifica $1-z^{2}$. Como $\dfrac{d}{dz}\operatorname{artanh}z=\dfrac{1}{1-z^{2}}$ y aquí $z^{2}=e^{x}-1$ exactamente,

   $1-z^{2}=1-\left(e^{x}-1\right)=2-e^{x}$

   La raíz cuadrada desaparece por completo de este factor: una simplificación genuina, y la razón de que la respuesta siga siendo legible. Observa que $2-e^{x}>0$ precisamente en el dominio hallado en el paso 1.

5. 5

   Arma $v'$ y luego $y'$.

   $v'=\frac{e^{x}}{2\sqrt{e^{x}-1}\left(2-e^{x}\right)}$

   $y'=2e^{2x}\operatorname{artanh}\left(\sqrt{e^{x}-1}\right)+\frac{e^{2x}\cdot e^{x}}{2\sqrt{e^{x}-1}\left(2-e^{x}\right)}=2e^{2x}\operatorname{artanh}\left(\sqrt{e^{x}-1}\right)+\frac{e^{3x}}{2\sqrt{e^{x}-1}\left(2-e^{x}\right)}$

6. 6

   Comprueba numéricamente dentro del dominio. En $x=0.5$ una diferencia centrada de la función original da $13.9758241$, y la fórmula da $13.9758241$ ✓; en $x=0.6$ las dos dan $28.7724865$ ✓. La derivada se dispara en los dos extremos del dominio, tal como anuncian los factores $\sqrt{e^{x}-1}\to 0$ y $2-e^{x}\to 0$.