Calcular la integral triple de x sobre el sólido limitado por el cono x² = y² + z² y el paraboloide x = y² + z².

Step-by-step solution

1. 1

   Se aprovecha la simetría: las dos superficies dependen de $y$ y $z$ solo a través de $y^2+z^2$. Se toma

   $r^2=y^2+z^2$

   Entonces el cono pasa a ser $x^2=r^2$ y el paraboloide, $x=r^2$. El sólido es una superficie de revolución alrededor del eje $x$, así que las coordenadas naturales son las cilíndricas construidas en torno a ese eje, y no al habitual eje $z$.

2. 2

   Se plantean las coordenadas cilíndricas giradas. Se toma

   $y=r\cos\theta,\qquad z=r\sin\theta,\qquad x=x$

   con $r\ge 0$ y $0\le\theta\le 2\pi$. El jacobiano es el de siempre, de modo que

   $dV=r\,dx\,dr\,d\theta$

   Olvidar ese factor extra $r$ es el error clásico aquí.

3. 3

   Se busca dónde se cortan las dos superficies. La región encerrada está en $x\ge 0$, donde el cono es $x=r$. Igualando las dos:

   $r=r^2\qquad\Longrightarrow\qquad r(r-1)=0\qquad\Longrightarrow\qquad r=0\ \text{ o }\ r=1$

   Así que el sólido se apoya sobre el disco $0\le r\le 1$ del plano $yz$, y las curvas se cortan en el origen y en $x=1$.

4. 4

   Se decide cuál de las superficies es la frontera inferior. Para $0<r<1$ se tiene $r^2<r$, así que el paraboloide $x=r^2$ queda a la izquierda del cono $x=r$. Para un $(r,\theta)$ fijo, la variable $x$ recorre por tanto desde $r^2$ hasta $r$:

   $\iiint_E x\,dV=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1\!\!\int_{r^2}^{r} x\,r\,dx\,dr\,d\theta$

5. 5

   Se integra en $x$ y después en $r$. La integral interior es

   $\int_{r^2}^{r}x\,r\,dx=r\left[\frac{x^2}{2}\right]_{r^2}^{r}=\frac{r^3-r^5}{2}$

   y a continuación

   $\int_0^1\frac{r^3-r^5}{2}\,dr=\frac{1}{2}\left[\frac{r^4}{4}-\frac{r^6}{6}\right]_0^1=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{12}=\frac{1}{24}$

6. 6

   Se termina con la integral angular. El integrando no depende de $\theta$, así que la última integración solo multiplica por la vuelta completa:

   $\int_0^{2\pi}\frac{1}{24}\,d\theta=\frac{2\pi}{24}=\frac{\pi}{12}$

   $\boxed{\iiint_E x\,dV=\frac{\pi}{12}\approx 0.2618}$

   Una suma de Riemann numérica sobre la misma región da $0.26180$, lo que confirma el resultado. Como $x\ge 0$ en todo el sólido, era de esperar una respuesta positiva.