¿Cuántos valores enteros de m hacen que la función f(x) = (mx - 4)/(x - m) sea creciente en el intervalo (0, infinito)?

Step-by-step solution

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   Derivar con la regla del cociente y observar cómo se simplifica el numerador.

   $f'(x)=\frac{m(x-m)-(mx-4)\cdot 1}{(x-m)^2}=\frac{mx-m^2-mx+4}{(x-m)^2}=\frac{4-m^2}{(x-m)^2}$

   Los términos en $x$ se cancelan, así que $f'$ tiene numerador constante. Es un rasgo general de $\frac{ax+b}{cx+d}$: el signo de su derivada lo fija $ad-bc$ y nunca cambia dentro de una misma rama.

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   Traducir el signo de $f'$ a una condición sobre $m$. El denominador $(x-m)^2$ es positivo allí donde $f$ está definida, así que

   $f'(x)>0\iff 4-m^2>0\iff -2<m<2.$

   Los extremos hay que excluirlos, no incluirlos: $m=\pm2$ da $f'\equiv0$ y, de hecho, $f$ se reduce a la constante $2$ o $-2$ (por ejemplo, $m=2$ da $\frac{2x-4}{x-2}=2$), que no es creciente.

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   Añadir la condición de que el intervalo quede dentro de una sola rama. Una derivada positiva solo prueba que la función crece en cada trozo conexo de su dominio. El punto $x=m$ es una asíntota vertical y, si cae dentro de $(0,+\infty)$, allí la función salta de $+\infty$ a $-\infty$, con lo que no es creciente en todo el intervalo. Por eso también se necesita

   $m\notin(0,+\infty)\quad\Longleftrightarrow\quad m\le 0.$

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   Ver el fallo de forma concreta con $m=1$. Entonces $f(x)=\frac{x-4}{x-1}$, y $f(0.5)=7$ mientras que $f(2)=-2$. La derivada es positiva a ambos lados de $x=1$ y, sin embargo, la función decrece al cruzar la asíntota: justo la trampa que la condición adicional sirve para detectar.

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   Intersecar las dos condiciones.

   $-2<m<2\quad\text{y}\quad m\le 0\qquad\Longrightarrow\qquad -2<m\le 0$

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   Contar los enteros. Los enteros de $(-2,\,0]$ son $m=-1$ y $m=0$, así que hay $\mathbf{2}$. Comprobación rápida con $m=0$: $f(x)=-\frac{4}{x}$, que crece desde $-\infty$ hacia $0$ en $(0,\infty)$ — creciente, tal como se afirmaba.