Halla y simplifica el cociente incremental (f(x + h) − f(x))/h, con h distinto de cero, para f(x) = 2x² − 3x + 4.

Step-by-step solution

1. 1

   Construye f(x + h) sustituyendo la expresión completa x + h. Se reemplaza cada $x$ de la regla, paréntesis incluidos:

   $f(x+h)=2(x+h)^{2}-3(x+h)+4.$

2. 2

   Desarrolla con cuidado. El cuadrado es el paso en el que suele perderse el término central: $(x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}$, así que

   $f(x+h)=2x^{2}+4xh+2h^{2}-3x-3h+4.$

3. 3

   Resta f(x) y observa la cancelación. Con $f(x)=2x^{2}-3x+4$, desaparece todo término que no contenga $h$:

   $f(x+h)-f(x)=\left(2x^{2}-2x^{2}\right)+4xh+2h^{2}+\left(-3x+3x\right)-3h+\left(4-4\right)=4xh+2h^{2}-3h.$

   Si aquí sobrevive algo sin $h$, hay un error de álgebra: el numerador tiene que ser divisible entre $h$.

4. 4

   Saca h como factor del numerador.

   $4xh+2h^{2}-3h=h\left(4x+2h-3\right).$

5. 5

   Cancela la h. Esto es legítimo precisamente porque se da $h\neq 0$:

   $\frac{h\left(4x+2h-3\right)}{h}=4x+2h-3.$

6. 6

   Interpreta el resultado. Al hacer $h\to 0$ queda $4x-3$, que es exactamente $f'(x)$: el cociente incremental es la derivada antes de tomar el límite. Esa es una forma rápida de comprobar la respuesta: deriva $2x^2-3x+4$ término a término y confirma que obtienes $4x-3$.