Calcula la integral de 1/(2 + 2x²)² desde menos infinito hasta infinito.

Step-by-step solution

1. 1

   Saca primero la constante del paréntesis. Como $2+2x^2=2(1+x^2)$,

   $\left(2+2x^2\right)^{2}=4\left(1+x^2\right)^{2}\ \Longrightarrow\ \int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{\left(2+2x^2\right)^2}=\frac14\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{\left(1+x^2\right)^{2}}$

   Hacer esto antes de sustituir mantiene reconocible la integral estándar.

2. 2

   Comprueba que la integral impropia converge. Para $|x|$ grande el integrando se comporta como $x^{-4}$, y $\int^{\infty}x^{-4}\,dx$ converge, así que ambas colas son finitas y el valor está bien definido.

3. 3

   Sustituye $x=\tan\theta$. Entonces $dx=\sec^2\theta\,d\theta$ y $1+x^2=\sec^2\theta$, de modo que

   $\int\frac{dx}{(1+x^2)^2}=\int\frac{\sec^2\theta}{\sec^4\theta}\,d\theta=\int\cos^2\theta\,d\theta=\frac{\theta}{2}+\frac{\sin 2\theta}{4}$

4. 4

   Toma los límites sobre toda la recta. Cuando $x$ recorre de $-\infty$ a $\infty$, $\theta$ recorre de $-\tfrac\pi2$ a $\tfrac\pi2$, y $\sin 2\theta$ se anula en ambos extremos:

   $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{(1+x^2)^2}=\left[\frac{\theta}{2}+\frac{\sin 2\theta}{4}\right]_{-\pi/2}^{\pi/2}=\frac{\pi}{2}$

5. 5

   Multiplica por la constante.

   $\frac14\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{8}\approx 0.3926991$

6. 6

   Confirma numéricamente. La regla del punto medio sobre $[-2000,2000]$ con cuatro millones de subintervalos devuelve $0.39269908168$, frente a $\pi/8=0.39269908170$ — coincidencia hasta la décima cifra decimal, y las colas truncadas más allá de $\pm 2000$ aportan menos de $10^{-9}$.