Halla la derivada de ln(1 + x/(eπ)) respecto de x.

Step-by-step solution

1. 1

   Trata $e\pi$ como una única constante. El producto $e\pi\approx 8.53973422$ no contiene ninguna $x$, así que se comporta exactamente como cualquier otro número. Reconocerlo pronto evita la tentación de aplicarle una regla del producto o del cociente.

2. 2

   Aplica la regla de la cadena para el logaritmo natural. Con $u=1+\dfrac{x}{e\pi}$,

   $\frac{d}{dx}\ln u=\frac{u'}{u},\qquad u'=\frac{1}{e\pi}$

   La derivada interior es la constante $\tfrac{1}{e\pi}$ porque $x$ aparece de forma lineal.

3. 3

   Escribe el cociente.

   $\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{1}{e\pi}}{1+\frac{x}{e\pi}}$

   Esto ya es correcto, pero es una fracción dentro de otra fracción; merece la pena una línea más para simplificarlo.

4. 4

   Elimina la fracción anidada. Multiplica numerador y denominador por $e\pi$:

   $\frac{\frac{1}{e\pi}\cdot e\pi}{\left(1+\frac{x}{e\pi}\right)e\pi}=\frac{1}{e\pi+x}$

   La constante desaparece por completo del numerador y lo único que hace es desplazar el denominador.

5. 5

   Reconoce el patrón general y comprueba. Para cualquier constante $c$, $\dfrac{d}{dx}\ln\left(1+\tfrac{x}{c}\right)=\dfrac{1}{x+c}$: la derivada del logaritmo de una función lineal es uno partido por esa misma función lineal, escalada para que el coeficiente principal sea 1. Numéricamente, en $x=1.7$ la diferencia central da $0.0976588$ y $\dfrac{1}{1.7+8.53973422}=0.0976588$ ✓.