Calcula la integral doble de e^(−(x² + y²)) sobre la región x² + y² ≤ 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Mira por qué las coordenadas cartesianas no llevan a ningún lado. En $x$ y $y$ la integral interior sería $\int e^{-x^2}dx$, y esa primitiva simplemente no existe en forma elemental. El integrando y la región dependen los dos solo de la distancia al origen, así que aquí las coordenadas polares no son un mero atajo cómodo: son lo que hace resoluble el problema.

2. 2

   Convierte a la vez integrando, región y elemento de área. Con $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$:

   $x^2+y^2=r^2,\qquad dA=r\,dr\,d\theta,\qquad x^2+y^2\le 1\iff 0\le r\le 1$

   de modo que

   $\iint_{x^2+y^2\le 1}e^{-(x^2+y^2)}dA=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1 e^{-r^2}\,r\,dr\,d\theta$

   El $r$ extra que aporta el jacobiano es todo el truco: es exactamente el factor que hace falta para un cambio de variable en $u$.

3. 3

   Haz la integral radial con $u=r^2$. Toma $u=r^2$, así que $du=2r\,dr$ y $r\,dr=\tfrac12\,du$, con $u$ recorriendo de $0$ a $1$:

   $\int_0^1 e^{-r^2}r\,dr=\frac12\int_0^1 e^{-u}du=\frac12\left[-e^{-u}\right]_0^1=\frac12\left(1-e^{-1}\right)$

4. 4

   Integra respecto al ángulo. El resultado radial es una constante, y la circunferencia completa aporta $2\pi$:

   $\int_0^{2\pi}\frac12\left(1-e^{-1}\right)d\theta=2\pi\cdot\frac12\left(1-e^{-1}\right)=\pi\left(1-e^{-1}\right)$

5. 5

   Evalúa numéricamente y comprueba las cotas.

   $\pi\left(1-\frac{1}{e}\right)\approx \pi(1-0.36788)\approx 1.9858$

   En el disco unitario el integrando va de $e^{-1}\approx 0.368$ (en el borde) a $1$ (en el centro), y el disco tiene área $\pi\approx 3.1416$. Así que la integral tiene que estar entre $0.368\pi\approx 1.156$ y $\pi\approx 3.142$, y $1.9858$ lo cumple $\checkmark$. Al extender el mismo cálculo hasta $r\to\infty$ se obtiene $\pi$, el resultado clásico que hay detrás de $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt\pi$.